Mathe-LK · M2 · Geometrie

Abstand Punkt – Ebene

Abstand heißt kürzeste Entfernung, und die kürzeste Verbindung von P zur Ebene ist das Lot: Es hat die Richtung des Normalenvektors. Sein Fußpunkt F liegt in der Ebene, der Abstand ist die Länge von PF. Spiegeln heißt: denselben Weg noch einmal weitergehen.

So gehst du vor

1Ziehe den Punkt P: waagerecht, senkrecht, „entlang des Lots“ (Abstand ändert sich) oder „parallel zu E“ (Abstand bleibt). Genau einstellen unter „Koordinaten“.
2Lotgerade, Lotfußpunkt F und Abstand laufen mit; rechts steht die Rechnung wie im Skript, einmal über den Lotfußpunkt und einmal mit der Hesse’schen Normalenform.
3Mit „E von der Kante“ siehst du das Lot in wahrer Länge und den rechten Winkel bei F.
4Schalte den Spiegelpunkt P' dazu: zweimal der Weg von P zum Lotfußpunkt.

Ansicht:

Punkte ziehen:

Ein Finger auf freier Fläche dreht die Ansicht, zwei Finger zoomen. Punkte ziehst du in der gewählten Richtung; die gestrichelten Linien beim Ziehen zeigen den Weg vom Ursprung zum Punkt. Gestrichelt und blass: verdeckt (hinter der Ebene). Das Schrägbild zeichnet wie das Skript die x₁-Achse verkürzt; beim Drehen wird senkrecht projiziert.

Abstand d(P, E)

2,67

t beim Lotfußpunkt

−0,889

Koordinaten

P(2 | 1 | 4)

x₁ = 2

x₂ = 1

x₃ = 4

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Rechnung

EbeneE: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 5, |n| = √9 = 3

Lotgeradex = 214 + t · 212 (durch P, Richtung n)

In E einsetzen2 (2 + 2t) + (1 + t) + 2 (4 + 2t) = 5 ⇔ 13 + 9t = 5 ⇒ t_F = −89

LotfußpunktOF = 214 − 89 · 212 = 2919209, F(29 | 19 | 209)

Abstandd(P, E) = |PF| = |t_F| · |n| = 89 · 3 = 83 ≈ 2,67

Hesse’sche Normalenformd(P, E) = |2 · 2 + 1 · 1 + 2 · 4 − 5|3 = |8|3 = 83 ✓

Seiten ∘ p − d = 8 > 0: P liegt auf der Seite, in die n zeigt.

Ebene E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 5

Vorlage

n₁ (vor x₁)

n₂ (vor x₂)

n₃ (vor x₃)

d

Hinweise

Farben wie im Skript: Lot blau gestrichelt, Normalenvektor in der Skriptfarbe (verkürzt gezeichnet, neben dem Lotfußpunkt angesetzt). Beide Rechenwege stehen im Skript: Die Hesse’sche Normalenform ist der schnellste Weg zum Abstand; den Lotfußpunkt braucht man trotzdem, wenn nach F oder nach dem Spiegelpunkt gefragt ist.

Beim Ziehen „entlang des Lots“ rastet t in Viertelschritten ein; „parallel zu E“ hält n ∘ p fest.

Aufträge

Beispiel im Skript: P(2 | 1 | 4) und E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 5. Berechne den Abstand auf beiden Wegen von Hand und vergleiche. Gib auch F an.
Ziehe P „parallel zu E“. Was passiert mit dem Abstand, was mit F? Begründe mit der Hesse’schen Normalenform.
Welche Punkte haben von E den Abstand 3? Suche zwei mit „entlang des Lots“ und gib für alle solchen Punkte Koordinatenformen an.
Ziehe P in die Ebene. Was zeigen t_F, F und der Zähler der Hesse’schen Normalenform?
Schalte den Spiegelpunkt dazu und berechne P' für das Beispiel im Skript von Hand. Prüfe, dass F der Mittelpunkt von P und P' ist.
Liegen O(0 | 0 | 0) und P(2 | 1 | 4) auf derselben Seite von E? Entscheide ohne Zeichnung und prüfe dann.

Theorie: Skript M2, Abschnitte „Abstand Punkt – Ebene“ und „Spiegelungen“.