Mathe-LK · M3 · Stochastik
Baumdiagramm zum Anfassen
Im Baumdiagramm stehen an den Ästen der zweiten Stufe bedingte Wahrscheinlichkeiten: PK(+) ist die Wahrscheinlichkeit von +, wenn K schon eingetreten ist. Längs eines Pfades wird multipliziert, mehrere Pfade werden addiert. Dreht man den Baum um, erhält man P+(K), und das ist oft etwas ganz anderes als PK(+).
So gehst du vor
- 1Wähle ein Beispiel. Beim medizinischen Test: Schätze zuerst die Antwort auf die Frage unten, bevor du weiterliest.
- 2Ziehe an den Leisten der Verzweigungen (kupfer: oberer Ast) oder stelle die Wahrscheinlichkeiten mit den Reglern ein. Die Astdicke zeigt die Wahrscheinlichkeit.
- 3Verfolge, wie Pfadwahrscheinlichkeiten, Vierfeldertafel und umgekehrter Baum mitlaufen.
- 4Im Häufigkeitsbild steht jeder Punkt für eine von 1000 Personen bzw. Durchführungen. Zeige nur die mit + und zähle.
Baumdiagramm
Pfadregeln
P(K ∩ +) = P(K) · PK(+) = 0,01 · 0,95 = 0,0095
P(K ∩ +) = P(K) · PK(+) = 0,99 · 0,02 = 0,0198
P(+) = P(K) · PK(+) + P(K) · PK(+) = 0,0095 + 0,0198 = 0,0293
(totale Wahrscheinlichkeit: alle Pfade, die zu + führen, werden addiert)
Beispiel
Test auf eine seltene Krankheit (Skript): 1 % der Bevölkerung ist krank (K). Der Test erkennt 95 % der Kranken (positiv, +), schlägt aber auch bei 2 % der Gesunden an (falsch positiv).
P(K)
0,010PK(+)
0,950PK(+)
0,020Vierfeldertafel
| + | − | Summe | |
|---|---|---|---|
| K | 0,0095 | 0,0005 | 0,01 |
| K | 0,0198 | 0,9702 | 0,99 |
| Summe | 0,0293 | 0,9707 | 1 |
Einträge
Innere Felder: „und“-Wahrscheinlichkeiten, z. B. P(K ∩ +); Randfelder: Gesamtwahrscheinlichkeiten. Jede Zeile und jede Spalte addiert sich zum Randwert.
Erst schätzen
Eine zufällig ausgewählte Person wird positiv getestet. Wie wahrscheinlich ist es, dass sie wirklich krank ist?
Der umgekehrte Baum und das Häufigkeitsbild erscheinen nach dem Aufdecken und laufen dann mit.
Aufträge
- Medizinischer Test: Schätze, wie viele der positiv Getesteten krank sind, und decke dann auf. Erkläre mit dem Häufigkeitsbild, warum es so wenige sind, obwohl der Test 95 % der Kranken erkennt.
- Wie ändert sich P+(K), wenn die Krankheit häufiger ist: P(K) = 0,1 bzw. 0,3? Und wie, wenn bei P(K) = 0,01 der Test nur noch bei 0,2 % der Gesunden anschlägt (PK(+) = 0,002)?
- Eine positiv getestete Person wird ein zweites Mal getestet (unabhängig vom ersten Test) und ist wieder positiv. Stelle P(K) auf den Wert von P+(K) aus Auftrag a und lies die neue Wahrscheinlichkeit ab, krank zu sein.
- Vereinssport: Prüfe die Vierfeldertafel mit „Anzahlen bei 120“ gegen das Skript. Bestimme PM(V) und PV(M) und erkläre, warum das zwei ganz verschiedene Fragen sind.
- Glücksrad: Begründe mit dem Baum, dass G1 und G2 unabhängig sind. Stelle dann bei „allgemein“ PA(B) = PA(B) ein. Was zeigt der umgekehrte Baum? Prüfe in der Vierfeldertafel P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
- Rückwärts (Beispiel im Skript): P(A) = 0,3, P(B) = 0,5, P(A ∩ B) = 0,2. Stelle den Baum bei „allgemein“ so ein, dass die Vierfeldertafel diese Werte zeigt. Welche Werte stehen an den Ästen? Sind A und B unabhängig?
Theorie: Skript M3 Stochastik, Abschnitte „Mehrstufige Zufallsexperimente“ und „Vierfeldertafel und bedingte Wahrscheinlichkeit“ (Pfadregeln, totale Wahrscheinlichkeit, Satz von Bayes).