Mathe-LK · M1 · Analysis

Bestand und Änderungsrate

In Sachaufgaben ist meist nicht der Bestand gegeben, sondern seine Änderungsrate: Zufluss pro Minute, Geschwindigkeit, Wachstumsrate. Das Integral der Rate über einen Zeitraum ist die Änderung des Bestands, also die orientierte Fläche unter dem Graphen der Rate: B(t) = B(0) + ∫t0r(s) ds. Der Bestand ist am größten, wenn die Rate von positiv auf negativ wechselt.

So gehst du vor

1Wähle ein Beispiel. Forme die Rate, indem du die roten Punkte auf und ab ziehst; die Rate gehört dann dir und hat keinen Term mehr.
2Ziehe die grauen Punkte t₁ und t₂ auf der Zeitachse: Die Fläche dazwischen ist die Bilanz, grün die Zunahme, blau die Abnahme. Unten erscheint sie als Höhenunterschied.
3Ziehe den schwarzen Punkt oder drücke „Abspielen“: Das Becken zeigt Zufluss, Abfluss und Füllstand zur Zeit t.
4Den Anfangsbestand B(0) ziehst du am roten Punkt im unteren Bild.

Änderungsrate r in m³h, Zeit t in h

Rate rZunahmeAbnahme

Bestand B in m³, Zeit t in h

Beispiel

Wasser im Teich, t in Stunden

Zeit t

1,00 h

Anfangsbestand B(0)

5,0 m³

Becken

Rate r(t)

4 m³h

Bestand B(t)

10 m³

Rechnung

r(t) = 6 − 2t

B(t) = B(0) + 6t − t²

B(1) = 5 + ∫10r(t) dt

= 5 + 5 = 10

Bilanz: ∫30r(t) dt = 9

Zunahme 9, Abnahme 0
B(3) − B(0) = 14 − 5 = 9

Größter Bestand: B(3) = 14
Kleinster Bestand: B(0) = 5

Aufträge

Teich mit r(t) = 6 − 2t in m³h: Bestimme von Hand, wann die Wassermenge am größten ist und wie viel Wasser bis dahin dazukommt. Prüfe mit t₁ und t₂.
Stelle beim Teich t₁ auf 0 und t₂ auf 6. Wie groß ist die Bilanz, und was bedeutet das für den Teich? Ist kein Wasser geflossen?
Zufluss r(t) = 2t in Liter pro Minute, anfangs 10 Liter: Wie viel Wasser ist nach 3 Minuten im Behälter? Warum ist die Einheit des Integrals Liter?
Wähle „Zu- und Abnahme“. Wann ist die Rate am größten, wann der Bestand? Erkläre den Unterschied in einem Satz.
Abitur 2026, Teil B, I 1.2: Wähle die Fontäne und berechne ∫95r(t) dt von Hand. Was bedeutet der Wert im Sachzusammenhang?
Freie Form: Forme die Rate so, dass der Bestand nach 10 Stunden wieder genauso groß ist wie am Anfang. Woran erkennst du das im oberen Bild?
Freie Form: Forme die Rate so, dass der Bestand zwei Maxima hat und das zweite höher ist als das erste. Notiere, welche Bedingung die Flächen dafür erfüllen müssen.

Theorie: M1 Analysis, Abschnitt „Bestand und Änderungsrate“. Mathematisch steckt der Hauptsatz dahinter: B ist eine Stammfunktion von r.