Spielereien · Zufall

Buffons Nadel und π

Graf Buffon stellte im 18. Jahrhundert eine seltsame Frage: Wirf eine Nadel auf einen Dielenboden. Wie wahrscheinlich liegt sie über einer Fuge? Die Antwort enthält π, obwohl nirgends ein Kreis zu sehen ist. Wer also oft genug Nadeln wirft, kann π bestimmen, ganz ohne Zirkel. Hier fallen die Nadeln von selbst, und nebenan regnet es Punkte in einen Viertelkreis.

So gehst du vor

1Wirf einzelne Nadeln, dann viele. Nadeln über einer Linie werden braun, die anderen grau.
2Beobachte, wie der Schätzwert für π zittert und sich beruhigt. Ändere die Nadellänge. Dann beginnt alles von vorn.
3Mache dasselbe mit den Punkten im Viertelkreis.
4Vergleiche beide Verfahren und löse die Aufträge. Am Ende steht, warum π überhaupt in den Nadeln steckt.

Nadeln auf den Dielenboden

Nadellänge l in Linienabständen a

0,80

So entsteht der Schätzwert

P =2lπa,also π ≈2l · Na · K

π ≈2 · 0,80 · 00= ?

N ist die Zahl der Nadeln, K die Zahl der Treffer. Die Formel gilt, solange die Nadel nicht länger als der Linienabstand ist. Ältere Nadeln verblassen, gezählt bleiben sie.

Nadeln

Treffer

Schätzwert

–

Abweichung

– %

Punkte im Viertelkreis

So entsteht der Schätzwert

Der Viertelkreis bedeckt den Anteilπ4des Quadrats. Also gilt π ≈ 4 ·KN

π ≈ 4 ·00= ?

Punkte

Im Viertelkreis

Schätzwert

–

Abweichung

– %

Solche Rechnungen mit dem Zufall heißen Monte-Carlo-Verfahren, nach der Spielbank. Sie sind langsam, funktionieren aber auch dort, wo keine Formel weiterhilft.

Warum steckt π in den Nadeln?

Aufträge

Wirf fünfmal je 100 Nadeln (dazwischen „Von vorn“) und notiere die Schätzwerte. Wie weit streuen sie? Wiederhole das mit je 1000 Nadeln.
Wie viele Nadeln brauchst du ungefähr, um die Abweichung zu halbieren? Und wie viele für π auf zwei Nachkommastellen genau?
Stelle l = 0,50 a ein. Welcher Anteil der Nadeln sollte treffen? Prüfe mit 1000 Nadeln.
Vergleiche Nadeln und Punkte bei gleicher Zahl von Würfen. Welches Verfahren liegt meist näher an π? Begründe, warum der Anteil im Viertelkreis π4 ist.
Rätsel: 1901 berichtete Mario Lazzarini, er habe mit l : a = 5 : 6 genau 3408 Nadeln geworfen und 1808 Treffer gezählt. Rechne seinen Schätzwert aus. Was ist daran verdächtig?
Rätsel: Warum wäre es eine Mogelei, wenn der Rechner den Winkel der Nadel einfach zwischen 0° und 180° mit Sinus und Kosinus würfeln ließe?

Der Rechner würfelt die Richtung der Nadel ohne π: Er wählt einen Zufallspunkt in einem Kreis und nimmt dessen Richtung. Auch die Formel der Treffer prüft nur, ob die Enden der Nadel zwischen verschiedenen Linien liegen.