Mathe-LK · M2 · Geometrie

Ebene durch drei Punkte

Drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, legen eine Ebene fest. Vom Stützpunkt A aus erreicht man jeden Punkt der Ebene mit einem Stück in Richtung u = AB und einem Stück in Richtung v = AC. Der Normalenvektor n = u × v steht senkrecht auf beiden und liefert die Koordinatenform.

So gehst du vor

1Ziehe die Punkte A, B, C mit dem Finger: waagerecht ändern sich x₁ und x₂, senkrecht nur x₃. Genau einstellen kannst du unter „Koordinaten“.
2Dreh die Ansicht mit einem Finger auf der freien Fläche; „Schrägbild“ bringt die Ansicht wie im Skript zurück.
3Verändere r und s (oder ziehe X über die Ebene) und beobachte, wie sich X aus den Spannvektoren zusammensetzt.
4Die Rechnung rechts läuft mit: Spannvektoren, Parameterform, Normalenvektor, Koordinatenform, Spurpunkte.

Ansicht:

Punkte ziehen:

Ein Finger auf freier Fläche dreht die Ansicht, zwei Finger zoomen. Punkte ziehst du in der gewählten Richtung; die gestrichelten Linien beim Ziehen zeigen den Weg vom Ursprung zum Punkt. Gestrichelt und blass: verdeckt (hinter der Ebene). Das Schrägbild zeichnet wie das Skript die x₁-Achse verkürzt; beim Drehen wird senkrecht projiziert.

Koordinaten

A(1 | 0 | 0)

x₁ = 1

x₂ = 0

x₃ = 0

Vorlage

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Rechnung

Spannvektorenu = AB = 120, v = AC = 013

ParameterformE: x = 100 + r · 120 + s · 013

Normalenvektorn = u × v =2 · 3 − 0 · 10 · 0 − 1 · 31 · 1 − 2 · 0= 6−31

Proben ∘ u = 0, n ∘ v = 0 ✓

Stützpunkt einsetzend = n ∘ OA = 6 · 1 + (−3) · 0 + 1 · 0 = 6

KoordinatenformE: 6x₁ − 3x₂ + x₃ = 6

Probe mit B und CB: 6 · 2 + (−3) · 2 + 1 · 0 = 6 ✓, C: 6 ✓

SpurpunkteS₁(1 | 0 | 0)S₂(0 | −2 | 0)S₃(0 | 0 | 6)

Punkt XOX = 100 + 0,5 · 120 + 0,5 · 013 = 1,51,51,5, Probe: 6 · 1,5 + (−3) · 1,5 + 1 · 1,5 = 6 ✓

Punkt X wandert über die Ebene

r

0,5

s

0,5

Gestrichelt: der Weg von A aus, erst r-mal u, dann s-mal v. Du kannst X auch direkt ziehen, es bleibt in der Ebene.

Hinweise

Farben wie im Skript: Stützvektor OA grau, u in der Skriptfarbe, v blau. Der Normalenvektor ist auf die Länge 2 verkürzt gezeichnet, damit er ins Bild passt; die Ebene ist nur als Ausschnitt im Würfel −1 ≤ x_i ≤ 6 gezeichnet, sie geht in Wirklichkeit unendlich weiter. Die Spurgeraden sind die Schnittgeraden von E mit den Koordinatenebenen; mit ihnen zeichnet man die Ebene im Schrägbild.

Aufträge

Mit der Vorlage „Beispiel im Skript“ (A(1 | 0 | 0), B(2 | 2 | 0), C(1 | 1 | 3)): Berechne n und die Koordinatenform von Hand und vergleiche. Für welche Werte von r und s ist X = B, für welche X = C?
Lass X wandern, bis es in der x₁x₂-Ebene liegt. Welche Bedingung für s erhältst du (Startwerte)? Auf welcher Linie liegen dann alle solchen Punkte X?
Für welche r und s liegt X auf der Strecke BC? Probiere mit den Reglern und begründe.
Wähle „Punkte auf den Achsen“: A(6 | 0 | 0), B(0 | 4 | 0), C(0 | 0 | 2). Welche Koordinatenform ergibt sich? Vergleiche mit dem Beispiel E: 2x₁ + 3x₂ + 6x₃ = 12 im Skript.
Verschiebe in der Vorlage „Beispiel im Skript“ nur C so, dass E parallel zur x₃-Achse wird. Woran erkennst du das am Normalenvektor und an der Koordinatenform? Welche Spurpunkte gibt es noch?
Lege C auf die Gerade durch A und B. Was passiert mit n, und warum gibt es keine Ebene mehr?

Theorie: Skript M2, Abschnitte „Ebenen in Parameterform“ und „Normalenform und Koordinatenform“.