Mathe-LK · M1 · Analysis

Funktionenscharen und Ortskurven

Eine Funktionenschar f_a ist eine ganze Familie von Funktionen, die sich nur im Parameter a unterscheiden. Man rechnet mit a wie mit einer festen Zahl; jedes Ergebnis hängt dann von a ab. Wandert ein Extrempunkt mit a, liegt er immer auf derselben Kurve, der Ortskurve. Du erhältst sie, indem du x = x(a) nach a auflöst und in y(a) einsetzt.

So gehst du vor

1Wähle eine Schar. Sie stammt aus dem Skript oder aus dem Abitur.
2Ziehe den Griff am Graphen nach oben oder unten, oder ziehe direkt einen Hoch-, Tief- oder Wendepunkt: Der Parameter a läuft mit. Der Regler stellt ihn genau ein.
3Fahre den ganzen Bereich ab oder drücke „a durchlaufen“: Die Punkte hinterlassen ihre Spur.
4Bestimme die Ortskurve und die gemeinsamen Punkte selbst. Erst dann vergleichst du mit den Knöpfen.

Graph G_a für a = 1

Graph G_a (am Griff ziehst du a)Spur der Tiefpunkte

Schar

Parameter a

1,00

Rechnung

f_a(x) = x² − 2ax

f₁(x) = x² − 2x

f′_a(x) = 2x − 2a = 0 ⇒ x = a

f″_a(x) = 2 > 0: Tiefpunkt T_a(a | −a²)

Tiefpunkt: T(1 | −1)

Aufträge

Schar x² − 2ax: Berechne den Tiefpunkt T_a von Hand und leite die Ortskurve her. Fahre dann mit „a durchlaufen“ die Spur ab und vergleiche.
Schar ax² − a + 1: Lies am Bild die Punkte ab, durch die alle Graphen gehen, und rechne sie mit dem Ansatz f_a(x) = f_b(x) nach.
Schar x³ − 3a²x: Zeige ohne Auflösen, dass T_a auf der Kurve y = −2x³ liegt. Welcher Teil der Kurve wird wirklich erreicht?
Schar ax³ − 3x: Für welche Werte von a gibt es Extrempunkte? Ziehe a von 3 nach 0 und beschreibe, was mit den Punkten geschieht.
Schar (x − a) · eˣ: Zeige, dass es genau einen Extrempunkt T_a gibt, bestimme die Ortskurve und den Wert von a, für den T_a auf der y-Achse liegt.
Abitur 2025, Teil A, W1: Weise für x · e^xa nach, dass alle Extrempunkte auf einer Ursprungsgeraden liegen. Schalte danach die Ortskurve ein.
Abitur 2026, Teil B, I 1.1: Berechne a, für das (1 | −1) auf G_a liegt, und prüfe am Bild, dass dieser Punkt Wendepunkt ist. Bestimme die beiden Punkte, durch die alle Graphen verlaufen. Stelle dann a = 0,75 ein: Was ist besonders?

Theorie: M1 Analysis, Abschnitte „Funktionenscharen“ und „Funktionenscharen untersuchen“.