Mathe-LK · M3 · Stochastik

Galtonbrett und Binomialverteilung

Eine Kugel fällt durch n Reihen von Stiften und springt an jedem Stift mit der Wahrscheinlichkeit p nach rechts. Das ist eine Bernoulli-Kette: Die Anzahl X der Sprünge nach rechts entscheidet, in welchem Fach die Kugel landet, und es gilt X ~ B(n; p). Viele Kugeln bilden nach und nach das Histogramm der Binomialverteilung.

So gehst du vor

1Lass einzelne Kugeln fallen und verfolge ihren Weg. Dann lass 100 oder 1000 fallen.
2Ändere n mit dem Regler und p mit dem Punkt auf der Leiste über dem Brett. Die Fächer leeren sich dabei.
3Lies unten μ und σ ab und wähle eine σ-Umgebung.
4Ziehe die Grenzen im Histogramm, um eine beliebige Wahrscheinlichkeit P(a ≤ X ≤ b) zu bestimmen.

Beispiel

Anzahl der Reihen n

Wahrscheinlichkeit p für „nach rechts“

0,50

Erwartungswert μ

5,00

Standardabw. σ

1,58

μ = n · p = 10 · 0,5 = 5,00

σ = √(n · p · (1 − p)) = √(10 · 0,5 · 0,5) ≈ 1,58

Mittelwert der 0 Kugeln: –

Histogramm und σ-Umgebungen

X ~ B(10; 0,5) · ■ das Intervall · schwarze Striche: relative Häufigkeiten deiner Kugeln

Intervall

[μ − σ; μ + σ] ≈ [3,42; 6,58], darin die ganzen Zahlen von 4 bis 6

P(4 ≤ X ≤ 6) = P(X ≤ 6) − P(X ≤ 3)

≈ 0,8281 − 0,1719 ≈ 0,6563

Faustwert für große σ: 68,3 %, exakt hier 65,6 %

Noch keine Kugeln gezählt.

Hier ist σ ≤ 3: Die Faustwerte der σ-Regeln passen nur grob (Faustregel im Skript: σ > 3).

Aufträge

Stelle n = 10 und p = 0,5 ein und lass 100 Kugeln fallen. Warum landen in den Fächern am Rand kaum Kugeln, obwohl jeder einzelne Weg gleich wahrscheinlich ist? Bestimme P(X = 0) und P(X = 5).
Stelle n = 3 und p = 0,3 ein. Wie viele Wege führen ins Fach k = 2? Berechne P(X = 2) mit der Bernoulli-Formel und vergleiche mit dem Histogramm.
Beispiel B(20; 0,3): Bestimme μ und σ. Welcher Balken ist der höchste? Ziehe die Grenzen und bestimme P(X ≤ 6) sowie P(X ≥ 8).
Beispiel B(100; 0,3): Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht X um höchstens 2σ von μ ab? Vergleiche mit den 95,4 % der σ-Regel und mit dem Anteil von 1000 Kugeln.
Vergleiche B(20; 0,3) und B(20; 0,7). Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Histogrammen? Begründe ihn am Brett.
Vervierfache n von 25 auf 100 bei p = 0,5. Was passiert mit μ und σ? Wird die Verteilung gemessen an der Anzahl der Fächer breiter oder schmaler?
Für welches p ist σ bei festem n am größten? Probiere es aus und begründe.

Theorie: Skript M3 Stochastik, Kapitel „Binomialverteilung“ (Bernoulli-Ketten, Erwartungswert und Standardabweichung, Rechnen mit der Binomialverteilung).