Mathe-LK · M2 · Geometrie
Gauß-Verfahren
Das Gaußverfahren löst ein lineares Gleichungssystem mechanisch: Man eliminiert Unbekannte, bis jede Gleichung eine weniger enthält als die darüber, und rechnet von unten nach oben zurück. Geometrisch sind drei Gleichungen drei Ebenen, die Lösungen sind ihre gemeinsamen Punkte. Jede Umformung ersetzt eine Ebene durch eine andere, die gemeinsamen Punkte bleiben dabei dieselben.
So gehst du vor
- 1Wähle ein Gleichungssystem. Jede Gleichung ist eine Ebene im Bild.
- 2Tippe die Zeile an, die sich ändern soll, stelle unter „Umformung“ die andere Zeile und die Faktoren ein und drücke „Ausführen“. Die Ebenen laufen mit.
- 3Arbeite bis zur Stufenform. Wenn du nicht weiterkommst, hilft „Vorschlag“.
- 4In der Stufenform erscheint die Lösungsmenge, im Bild als Punkt oder Gerade L.
Ansicht:
Ein Finger auf freier Fläche dreht die Ansicht, zwei Finger zoomen. Punkte ziehst du mit dem Finger; die gestrichelten Linien beim Ziehen zeigen den Weg vom Ursprung zum Punkt. Gestrichelt und blass: verdeckt (hinter der Ebene). Das Schrägbild zeichnet wie das Skript die x1-Achse verkürzt; beim Drehen wird senkrecht projiziert.
Gleichungssystem
Gleichungssystem
| x1 | + x2 | + x3 | = | 6 | |
| 2x1 | − x2 | + x3 | = | 3 | |
| x1 | + 2x2 | − x3 | = | 2 |
Umformung
Neue Zeile II =II − 2 · I
· II1
· I−2
andere Zeile:
Ergebnis der Zeile: −3x2 − x3 = −9
Lösungsmenge
Noch keine Stufenform: Mindestens eine Zeile beginnt nicht weiter rechts als die Zeile darüber.
Eigenes Gleichungssystem
| I | ||||
| II | ||||
| III |
In den ersten drei Spalten stehen die Zahlen vor x1, x2, x3, rechts vom Strich die rechte Seite. Komma oder Punkt sind beide erlaubt.
Aufträge
- „eine Lösung“: Führe die Schritte aus dem Skript aus: II − 2 · I, III − I, 3 · III + II. Bestimme die Lösung von unten nach oben und mache die Probe.
- Schalte „Lösung im Bild“ ein und wiederhole die Schritte. Was ändert sich im Bild bei jedem Schritt, was nie? Begründe das mit dem Satz zum Gaußverfahren.
- Sieh dir die Stufenform aus Auftrag a im Bild an. Welche besondere Lage hat die Ebene zu Zeile III, welche die Ebene zu Zeile II? Woran liest du das an den Gleichungen ab?
- „unendlich viele: Gerade“: Forme um, bis eine Zeile 0 = 0 entsteht. Gib die Lösungsmenge an und deute sie geometrisch.
- „keine Lösung“: Hier ist nur die rechte Seite der dritten Gleichung geändert. Forme um und schalte „Schnittgeraden“ ein. Warum gibt es keinen gemeinsamen Punkt, obwohl sich je zwei Ebenen schneiden?
- Löse die drei Abituraufgaben von Hand und deute sie geometrisch. Kontrolliere dann mit der Seite.
- Ändere unter „Eigenes Gleichungssystem“ im ersten Beispiel die rechte Seite von III von 2 auf 3. Ändert sich der Fall? Warum ändert sich beim Beispiel „Gerade“ der Fall schon, wenn man eine einzige rechte Seite ändert?
Theorie: Skript M2, Kapitel „Lineare Gleichungssysteme“.