Mathe-LK · M2 · Geometrie
Zwei Flugzeuge
Bewegt sich ein Objekt mit konstanter Geschwindigkeit geradeaus, beschreibt eine Geradengleichung seine Bahn, und der Parameter ist die Zeit. Zwei Flugzeuge stoßen nur zusammen, wenn sie zur selben Zeit am selben Ort sind. Gleiche Bahnpunkte zu verschiedenen Zeiten reichen nicht.
So gehst du vor
- 1Ziehe die Zeit: im Graphen, am Regler oder direkt an einem Flugzeug F1 oder F2 auf seiner Bahn. Mit „Abspielen“ fliegen beide los.
- 2Die Startpunkte P1, P2 und die Pfeilspitzen (Ort nach einer Stunde) lassen sich ziehen, „waagerecht“ oder „senkrecht“.
- 3Lies den kleinsten Abstand zuerst im Graphen ab und rechne ihn aus.
- 4Erst dann drückst du „Kleinsten Abstand zeigen“.
Ansicht:
Punkte ziehen:
Ein Finger auf freier Fläche dreht die Ansicht, zwei Finger zoomen. Punkte ziehst du in der gewählten Richtung; die gestrichelten Linien beim Ziehen zeigen den Weg vom Ursprung zum Punkt. Gestrichelt und blass: verdeckt (hinter der Ebene). Das Schrägbild zeichnet wie das Skript die x1-Achse verkürzt; beim Drehen wird senkrecht projiziert.
Im Bild ist ein Teilstrich auf x1 und x2 100 km lang, auf x3 nur 1 km: Die Höhe ist stark überhöht. Die Rechnung gilt in km.
Zeit t
0,00 h
Abstand d(t)
300,0 km
Abstand über der Zeit
Zeit t
0,00 hVorlage
Rechnung
Flugzeug F1x1(t) = 001 + t · 2001000, |v1| ≈ 224 kmh
Flugzeug F2x2(t) = 30001 + t · −1001000, |v2| ≈ 141 kmh
Bei t = 0 hF1(0 | 0 | 1), F2(300 | 0 | 1)
Abstandsvektord(t) = x2(t) − x1(t) = 30000 + t · −30000
Jetztd(0) = 30000, |d| = 300 km
Quadrat des Abstands|d(t)|² = 90.000t² − 180.000t + 90.000
Bestimme den Scheitel dieser quadratischen Funktion selbst: Scheitelform oder Ableitung. Dann drücke „Kleinsten Abstand zeigen“.
Aufträge
- Vorlage „Zusammenstoß“: Wo ist F1 nach einer halben Stunde? Wie schnell ist es? Prüfe mit dem Regler.
- Setze die Bahnen von Hand gleich, mit zwei verschiedenen Parametern t1 und t2. Warum ist das hier ein Zusammenstoß?
- Vorlage „Bahnen kreuzen sich“: F2 fliegt halb so schnell. Bestimme t1, t2 und den Punkt, in dem sich die Bahnen schneiden. Bestimme dann den kleinsten Abstand der Flugzeuge.
- Vorlage „verschiedene Höhen“: Welchen kleinsten Abstand erwartest du ohne Rechnung? Bestätige ihn mit |d(t)|².
- Vorlage „fliegen auseinander“: Der Scheitel liegt bei negativem t. Was bedeutet das für die Flugzeuge, und wann ist ihr Abstand am kleinsten?
- Vorlage „Zusammenstoß“: Ziehe die Pfeilspitze von F2 so, dass beide erst bei t = 2 zusammenstoßen. Welches v2 brauchst du?
- Im Graphen hat die Kurve beim Zusammenstoß einen Knick, |d(t)|² aber nicht. Erkläre das. Warum rechnet man mit dem Quadrat?
Theorie: Skript M2, Abschnitt „Geradlinige Bewegungen“; Scheitel und Ableitung im Skript M1, „Extremwertprobleme“.