Spielereien · Muster

Goldener Winkel

Im Kopf einer Sonnenblume entstehen die Samen in der Mitte und werden nach außen geschoben. Jeder neue Samen sitzt um denselben Winkel gedreht neben dem vorigen. Welcher Winkel packt am besten? Die Natur nimmt fast immer rund 137,5°, den goldenen Winkel: Er teilt den Vollkreis im Goldenen Schnitt. Schon winzige Abweichungen zerstören das Muster.

So gehst du vor

1Ziehe den Punkt 1 am Zifferblatt oder stelle den Winkel am Regler fein ein. Das Bild ändert sich sofort.
2Beobachte den Füllgrad: Er vergleicht den kleinsten Abstand zweier Samen mit einem perfekten Gitter.
3Tippe die Brüche der Reihe nach an und zähle die Speichen. Dann färbe die Spiralen beim goldenen Winkel.
4Lass die Blume wachsen oder fahre langsam durch die Winkel von 137° bis 138°.

Der Blütenkopf

Der Winkel

Drehwinkel

137,51 °

Füllgrad

84 %

Abstand zu 137,51°

0,00 °

Anteil am Vollkreis

α ist kein Vielfaches von 360° mit kleinem Nenner, die Samen bilden keine geraden Speichen.

Samen

500

Spiralen färben

Der Samen Nummer k liegt in Richtung k · α im Abstand √k. Beim Färben bilden die Samen mit gleichem Rest bei Division durch die gewählte Zahl eine Spirale.

Aufträge

Stelle nacheinander 90°, 120° und 144° ein. Wie viele Speichen entstehen? Warum ist das für eine Pflanze schlecht?
Rekordjagd: Decke die Knöpfe ab und suche nur mit Regler und Feinschritten den höchsten Füllgrad zwischen 130° und 145°. Wie genau musst du treffen?
Tippe die Brüche 12, 13, 25, 38 … der Reihe nach an. Notiere die Winkel. Was fällt dir an Zählern, Nennern und Winkeln auf?
Wähle den goldenen Winkel und 800 Samen. Färbe 13, 21, 34 und 55. Welche Zahl zeigt die Spiralen außen am klarsten, welche weiter innen?
Berechne den goldenen Winkel selbst: Teile 360° im Goldenen Schnitt, also im Verhältnis φ ≈ 1,618. Warum sieht 222,49° genauso aus wie 137,51°?
Rätsel für Knobler: Auch bei 99,5° ist der Füllgrad erstaunlich hoch, bei 114,59° (das ist 360° : π) entstehen dagegen Arme. Was bedeuten diese Arme? Wie viele sind es?

Die Zahlen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 … sind die Fibonacci-Zahlen: Jede ist die Summe der beiden davor. Wer in einer echten Sonnenblume die Spiralen zählt, findet fast immer zwei benachbarte davon.