Mathe-LK · M3 · Stochastik

Hypothesentest: Ablehnungsbereich ziehen

Ein Hypothesentest entscheidet anhand einer Stichprobe, ob man die Nullhypothese H₀ verwirft. Man nimmt H₀ als wahr an: Dann ist die Trefferzahl X binomialverteilt mit n und p₀. Fällt X in den Ablehnungsbereich K, der unter H₀ nur mit kleiner Wahrscheinlichkeit erreicht wird, wird H₀ abgelehnt. Hier ziehst du die Grenze von K selbst und siehst, wie sich die Irrtumswahrscheinlichkeit (Fehler 1. Art) und der Fehler 2. Art ändern.

So gehst du vor

1Wähle ein Beispiel aus dem Skript oder stelle n, p₀, die Testart und das Signifikanzniveau α selbst ein.
2Ziehe die gestrichelte Grenze im Histogramm mit dem Finger (oder tippe an die gewünschte Stelle). Die kupferfarbenen Balken bilden K.
3Lies rechts die Irrtumswahrscheinlichkeit ab und vergleiche sie mit α: K soll so groß wie möglich sein, die Irrtumswahrscheinlichkeit aber höchstens α.
4Schalte eine wahre Trefferwahrscheinlichkeit p₁ ein: Das zweite Histogramm zeigt den Fehler 2. Art.
5Ziehe unten 100 Stichproben und zähle, wie oft der Test H₀ ablehnt.

Unter H₀: X ~ B(100; 0,4) · ■ Ablehnungsbereich K (Fehler 1. Art)

Irrtumswahrsch.

17,9 %

Fehler 2. Art

– %

Irrtumswahrscheinlichkeit = Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art = P_p₀(X ∈ K). Der Fehler 2. Art lässt sich nur für ein bestimmtes p₁ berechnen.

Beispiel

Eine Partei hatte 40 % Zustimmung; sie befürchtet einen Rückgang und befragt 100 Personen (Beispiel im Skript).

Testart

Stichprobenumfang n

100

Trefferwahrscheinlichkeit p₀ unter H₀

0,40

Signifikanzniveau α

H₀: p ≥ 0,4, H₁: p < 0,4

K = {0; …; 35}

Irrtumswahrscheinlichkeit P_p₀(X ∈ K) = P(X ≤ 35) ≈ 0,179

links eins mehr: P(X ≤ 36) ≈ 0,239

Signifikanzniveau α = 5 %

Simulation: Stichproben ziehen

Die Stichproben stammen aus

Jede Stichprobe besteht aus n = 100 Zufallsversuchen. Ändert man n oder die Trefferwahrscheinlichkeit, beginnt die Liste neu; verschiebt man K, werden die Punkte neu eingefärbt.

Übung: Ablehnungsbereich bestimmen

Eine Aufgabe mit Sachzusammenhang und vorgegebenem Signifikanzniveau. Formuliere H₀, bestimme K durch Ziehen der Grenze (so groß wie möglich, Irrtumswahrscheinlichkeit höchstens α) und formuliere die Entscheidungsregel. Erst dann prüfen oder die Lösung zeigen.

Aufträge

Beispiel „Partei“: Ziehe die Grenze, bis K so groß wie möglich ist und die Irrtumswahrscheinlichkeit trotzdem höchstens 5 % beträgt. Schreibe die Rechnung so auf wie im Abitur und formuliere die Entscheidungsregel.
Stelle K = {0; …; 31} ein und ziehe mehrmals 100 Stichproben mit p₀ = 0,4. Wie oft wird H₀ fälschlich abgelehnt? Vergleiche mit der Irrtumswahrscheinlichkeit und erkläre, warum die Anzahl von Mal zu Mal schwankt.
Nimm an, in Wirklichkeit ist p₁ = 0,3. Wie groß ist der Fehler 2. Art? Und bei p₁ = 0,35? Deute beide Werte im Sachzusammenhang.
Verdopple den Stichprobenumfang auf n = 200 (Signifikanzniveau weiter 5 %) und bestimme K neu. Wie groß ist nun der Fehler 2. Art für p₁ = 0,35? Was bringt der größere Stichprobenumfang?
Zurück zu n = 100: Senke das Signifikanzniveau auf 1 %. Was passiert mit K, mit der Irrtumswahrscheinlichkeit und mit dem Fehler 2. Art für p₁ = 0,3?
Beispiel „Münze“ (zweiseitig): Bestimme beide Grenzen so, dass an jedem Ende höchstens 2,5 % liegen. Bei der Durchführung fällt 58-mal „Kopf“. Entscheide.
Löse im Feld „Übung“ mindestens drei Aufgaben, darunter eine links-, eine rechts- und eine zweiseitige. Prüfe jeweils erst danach.

Theorie: Skript M3 Stochastik, Kapitel „Hypothesentests“ (Grundidee und Aufbau, Einseitige Tests, Fehler erster und zweiter Art, Zweiseitige Tests).