Mathe-LK · M3 · Stochastik

Hypothesentest simulieren

Ein Test mit dem Signifikanzniveau 5 % irrt „in höchstens 5 % der Fälle“. Aber in 5 % welcher Fälle? Hier läuft derselbe Test viele Male ab, und du bestimmst, was in Wahrheit gilt. Du siehst, wie oft er H₀ ablehnt, wie oft er sich dabei irrt und was der Test nicht leisten kann. Wie man den Ablehnungsbereich K findet, zeigt die Seite „Hypothesentest: Ablehnungsbereich ziehen“. Hier steht K schon fest.

So gehst du vor

1Wähle ein Beispiel. K wird passend zu n, p₀ und α eingestellt.
2Lege fest, welche Trefferwahrscheinlichkeit in Wahrheit gilt. Das geht mit dem Regler oder durch Ziehen in der Kurve unten.
3Ziehe eine Stichprobe und sieh zu, wie sie entsteht. Dann lass viele laufen.
4Vergleiche den gezählten Anteil der Ablehnungen mit dem berechneten Wert.
5Verschiedene wahre p liefern Punkte an der Kurve. Zum Schluss: Lass den Rechner das wahre p verbergen und finde es heraus.

Balken: gezählte Trefferzahlen · - - - Verteilung unter H₀ · ― Verteilung mit dem wahren p

Tempo

Beispiel

Eine Partei hatte 40 % Zustimmung und befürchtet einen Rückgang. Sie befragt 100 Personen. Ein Treffer ist eine Zustimmung.

Signifikanzniveau α

H₀: p ≥ 0,4, H₁: p < 0,4

K = {0; …; 31}

Irrtumswahrscheinlichkeit P_p₀(X ∈ K) ≈ 4,0 %

wahre Trefferwahrscheinlichkeit p

0,40

Was der Test wirklich tut

Stichproben

Ablehnungen, gezählt

– %

Ablehnungen, berechnet

4,0 %

Rechnung: P_0,4(X ∈ K) ≈ 0,0398

Zusatz: Wie oft lehnt der Test ab, je nachdem, was wahr ist?

Die Kurve zeigt P_p(X ∈ K) für jedes p. Im rot getönten Teil gilt H₀: Dort ist ihr Wert die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art. Im übrigen Teil ist der Abstand zur 1 der Fehler 2. Art. Die blauen Punkte sind deine Simulationen. Die Kurve heißt Gütefunktion. Im Skript kommt sie nicht vor, im Abitur rechnet man einzelne Werte.

Zusatz: 20 Gruppen testen dasselbe

20 Forschergruppen prüfen unabhängig voneinander je eine Nullhypothese, die in Wahrheit stimmt. Jede benutzt diesen Test. Wie oft meldet mindestens eine Gruppe einen „Fund“?

Aufträge

Beispiel „Partei“ mit p = 0,4: Lass 1000 Stichproben laufen und notiere den Anteil der Ablehnungen. Wiederhole das dreimal. Welchen Wert erwartest du, und wie stark darf er schwanken?
Das Signifikanzniveau ist 5 %, trotzdem liegt der Anteil unter 5 %. Erkläre das am Histogramm. Warum lässt sich der Wert 5 % hier nicht genau erreichen?
Stelle p = 0,45 ein. Die Partei hat also zugelegt, H₀ stimmt weiterhin. Wie oft lehnt der Test nun ab? Warum rechnet man trotzdem mit dem Grenzfall p = 0,4?
Stelle nacheinander p = 0,25, 0,30, 0,35 und 0,38 ein und simuliere jeweils 1000 Stichproben. Notiere den Fehler 2. Art und deute den Verlauf im Sachzusammenhang.
Vergleiche die Kurve für α = 1 %, 5 % und 10 %. Was geschieht jeweils mit dem Fehler 1. Art und mit dem Fehler 2. Art für p = 0,3?
Stelle unter „eigene Werte“ einen linksseitigen Test mit p₀ = 0,4 und α = 5 % ein. Welches n braucht man etwa, damit der Fehler 2. Art für p = 0,3 höchstens 10 % beträgt?
Beispiel „Münze“: Wie oft erkennt der zweiseitige Test eine Münze mit p = 0,55? Und mit p = 0,6? Welchen Schluss ziehst du für die Aussage „Die Münze ist fair, der Test hat nichts gefunden“?
Lass dir das wahre p verbergen. Lass 1000 Stichproben laufen und bestimme p möglichst genau, einmal aus dem Histogramm und einmal aus dem Anteil der Ablehnungen und der Kurve. Entscheide erst dann, ob H₀ stimmt, und decke auf.
Führe im Feld „20 Gruppen testen dasselbe“ mindestens 20 Durchgänge durch. Warum ist ein einzelner „Fund“ unter 20 Tests kein Beleg für irgendetwas? Rechne nach.

Theorie: Skript M3 Stochastik, Kapitel „Hypothesentests“ (Grundidee und Aufbau, Einseitige Tests, Fehler erster und zweiter Art, Zweiseitige Tests).