Mathe-LK · M1 · Analysis

Integralgrenzen ziehen

Das Integral ∫baf(x) dx ist der orientierte Flächeninhalt: Flächen oberhalb der x-Achse zählen positiv, unterhalb negativ. Für den tatsächlichen Flächeninhalt trennt man an den Nullstellen und addiert die Beträge. Ziehe die Grenzen mit dem Finger und sieh zu, wie Integral, Flächeninhalt und die Integralfunktion I_a mitlaufen.

So gehst du vor

1Wähle eine Funktion. Ziehe die Punkte a und b auf der x-Achse; an Nullstellen und den Grenzen aus dem Skript rasten sie ein.
2Vergleiche Integralwert und Flächeninhalt. Die Zahlen in den Teilflächen sind die orientierten Teilintegrale.
3Unten läuft die Integralfunktion I_a mit: Ihr Wert an der Stelle b ist das Integral von a bis b. Du kannst auch dort ziehen.
4Schalte Unter- und Obersumme zu und erhöhe n. Danach im zweiten Teil die Fläche zwischen zwei Graphen.

1 Integral und Integralfunktion

Graph von fFläche oberhalb der Achse (zählt positiv)unterhalb (zählt negativ)

Integralfunktion I_a(x) = ∫xaf(t) dt mit a = 0

Graph von I_a, Punkt (b | I_a(b))Tangente mit Steigung I′_a(b) = f(b)

Funktion f(x) =

Integral (orientierter Flächeninhalt)

∫20(x² − 1) dx = [x³3 − x]20 = 0,67 − 0,00 = 0,67

Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse

Nullstelle dazwischen: 1

A = |−0,67| + |1,33| = 2,00

Probe mit der Integralfunktion: I₀(2) = 0,67

Rechtecke: Unter- und Obersumme

2 Fläche zwischen zwei Graphen

f(x) = 4 − x²g(x) = x + 2f liegt obeng liegt oben

Schwarze Punkte: Schnittpunkte. Die Grenzen rasten an den Schnittstellen ein. Zahlen in den Teilflächen: Teilintegrale von f − g.

Graphen

beide Graphen verschieben um c

0,0

Schnittstellen aus f(x) = g(x)

x₁ = −2, x₂ = 1

Integral der Differenz „oben minus unten“

∫1−2(2 − x − x²) dx = [2x − x²2 − x³3]1−2 = 4,50

Flächeninhalt

A = |4,50| = 4,50

So rechnet man im Abitur

Fläche zwischen Graph und x-Achse: Nullstellen im Intervall bestimmen, getrennt integrieren, Beträge addieren.
Fläche zwischen zwei Graphen: Schnittstellen aus f(x) = g(x), dann A = |∫x₂x₁(f(x) − g(x)) dx|, bei mehreren Schnittstellen stückweise. Wo die Graphen liegen, ist egal, auch unterhalb der Achse.
Gerechnet wird mit einer Stammfunktion: ∫baf(x) dx = [F(x)]ba = F(b) − F(a). Der WTR im Abitur integriert nicht; die Rechtecksummen zeigen nur, was das Integral bedeutet.

Aufträge

f(x) = 2 sin(x2), Grenzen 0 und 2π: Lies das Integral ab. Ziehe dann b bis 4π. Wie groß sind jetzt Integral und Flächeninhalt? Erkläre den Unterschied.
f(x) = x² − 1 auf [0; 2]: Berechne Integral und Flächeninhalt von Hand und vergleiche mit der Anzeige. Wo muss man trennen?
Tausche a und b. Was passiert mit dem Integral, was mit dem Flächeninhalt?
f(x) = 1 − x2, a = 0: Wo hat I₀ ihr Maximum, wo ist I₀ wieder null? Begründe mit den Flächen und bestätige mit dem Term von I₀. Vergleiche die Steigung der Tangente an I₀ mit f(b).
f(x) = x² auf [0; 2] mit n = 4: Prüfe U₄ = 1,75 und O₄ = 3,75 aus dem Skript. Wie groß muss n mindestens sein, damit O_n − U_n < 0,1 ist? Zusatz Begründe ohne Probieren.
f(x) = x³ von −1 bis 1: Warum ist das Integral 0? Wie groß ist der Flächeninhalt?
Teil 2, 4 − x² und x + 2: Bestimme Schnittstellen und Flächeninhalt von Hand. Verschiebe dann beide Graphen mit c so weit nach unten, dass die Fläche ganz unter der x-Achse liegt. Was ändert sich?
x³ und x von −1 bis 1: Vergleiche das Integral der Differenz mit dem Flächeninhalt und erkläre.
√x und x²: Berechne die Fläche zwischen den Graphen. Warum liegt die Fläche symmetrisch zur Geraden y = x?

Theorie: Skript M1 Analysis, Abschnitte „Das bestimmte Integral“, „Integralfunktion“, „Der Hauptsatz und sein Beweis“ und „Flächenberechnung“.