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Mathe-LK · M2 · Geometrie

Koordinatenform verstehen

Die Koordinatenform E: n1x1 + n2x2 + n3x3 = d ist eine einzige Gleichung für die Ebene. Ihre Koeffizienten bilden den Normalenvektor n, der senkrecht auf jeder Richtung in der Ebene steht; d legt fest, wie weit die Ebene in Richtung n verschoben ist.

So gehst du vor

  1. 1Stelle mit den Reglern die vier Zahlen der Koordinatenform ein oder wähle eine Vorlage.
  2. 2Beobachte, wie sich die Ebene dreht (Koeffizienten n1, n2, n3) oder verschiebt (d), und wie der Normalenvektor mitgeht.
  3. 3Dreh die Ansicht mit einem Finger; mit „E von der Kante“ siehst du, dass n senkrecht auf der Ebene steht.
  4. 4Rechts stehen Spurpunkte, besondere Lage, die Probe n ∘ (Richtung in E) = 0 und die Parameterform aus den Spurpunkten.
−2−11234567−2−11234567x1x2x3EnS1S2S3
Ansicht:

Ein Finger auf freier Fläche dreht die Ansicht, zwei Finger zoomen. Punkte ziehst du mit dem Finger; die gestrichelten Linien beim Ziehen zeigen den Weg vom Ursprung zum Punkt. Gestrichelt und blass: verdeckt (hinter der Ebene). Das Schrägbild zeichnet wie das Skript die x1-Achse verkürzt; beim Drehen wird senkrecht projiziert.

Vorlage

E: 2x1 + 3x2 + 6x3 = 12

n1 (vor x1)

2

n2 (vor x2)

3

n3 (vor x3)

6

d

12

Rechnung

EbeneE: 2x1 + 3x2 + 6x3 = 12
NormalenvektorKoeffizienten ablesen: n = 236
Besondere LageKeine Variable fehlt: Die Ebene schneidet alle drei Achsen (allgemeine Lage).
Spurpunkt S1x2 = x3 = 0 ⇒ 2x1 = 12 ⇒ x1 = 6, S1(6 | 0 | 0)
Spurpunkt S2x1 = x3 = 0 ⇒ 3x2 = 12 ⇒ x2 = 4, S2(0 | 4 | 0)
Spurpunkt S3x1 = x2 = 0 ⇒ 6x3 = 12 ⇒ x3 = 2, S3(0 | 0 | 2)
n steht senkrechtS1S2 = −640: n ∘ −640 = 2 · (−6) + 3 · 4 + 6 · 0 = 0 ✓S1S3 = −602: n ∘ −602 = 2 · (−6) + 3 · 0 + 6 · 2 = 0 ✓
ParameterformE: x = 600 + r · −640 + s · −602

Hinweise

Der Normalenvektor (rot) ist auf die Länge 2 verkürzt gezeichnet und setzt dort an, wo das Lot vom Ursprung die Ebene trifft (gestrichelt). Ändert man nur d, wandert die Ebene parallel in Richtung n. Multipliziert man die ganze Gleichung mit einer Zahl ≠ 0, bleibt es dieselbe Ebene. Die Ebene ist nur als Ausschnitt gezeichnet, sie geht unendlich weiter.

Aufträge

  1. Vorlage „Beispiel im Skript“ (E: 2x1 + 3x2 + 6x3 = 12): Bestimme die Spurpunkte von Hand, vergleiche mit der Zeichnung (auch als Spurdreieck) und stelle eine Parameterform auf.
  2. Ändere nur d von 12 bis −12. Wie bewegt sich die Ebene, was passiert mit n? Bei welchem d geht E durch den Ursprung?
  3. Stelle 4x1 + 6x2 + 12x3 = 24 ein. Was ändert sich gegenüber dem Beispiel, was nicht?
  4. Setze im Beispiel n3 = 0. Welche besondere Lage hat die Ebene jetzt? Begründe mit n ∘ 001.
  5. Finde eine Koordinatenform und prüfe sie mit den Reglern: (1) die Ebene parallel zum Boden durch P(0 | 0 | 4), (2) die x1x3-Ebene, (3) eine Ebene, die die x3-Achse enthält und durch Q(1 | 1 | 0) geht.
  6. Typischer Fehler: Liegt P(2 | 3 | 6) in E: 2x1 + 3x2 + 6x3 = 12? Gib drei Punkte an, die wirklich in der Ebene liegen.

Theorie: Skript M2, Abschnitt „Normalenform und Koordinatenform“ (Spurpunkte, besondere Lagen, typischer Fehler).

Üben in Minærva Noctua

Fragen und Aufgaben zu den passenden Abschnitten im Skript: