Mathe-LK · M1 · Analysis

Krümmung und Wendepunkt

Fährt man den Graphen von links nach rechts mit dem Fahrrad entlang, so lenkt man bei einer Linkskurve nach links, bei einer Rechtskurve nach rechts. Bei f″(x) > 0 ist der Graph linksgekrümmt, bei f″(x) < 0 rechtsgekrümmt. Der Punkt, an dem man umlenkt, ist der Wendepunkt; dort ist die Steigung extremal, und die Wendetangente ist am steilsten oder am flachsten.

So gehst du vor

1Wähle eine Funktion und ziehe den Punkt P langsam von links nach rechts. Beobachte, wie sich die Tangente dreht.
2Die farbigen Bereiche zeigen die Krümmung: rot linksgekrümmt, grün rechtsgekrümmt. Rechts läuft f″(x₀) mit.
3Schalte unten den Graphen von f″ (und von f′) zu und vergleiche die Vorzeichen mit den Bereichen.
4Berechne Wendepunkt und Wendetangente selbst, dann „Wendepunkte zeigen“.

Graph mit Tangente

Schwarz die Tangente in P. Rot hinterlegt: linksgekrümmt (f″ > 0), grün hinterlegt: rechtsgekrümmt (f″ < 0).

Funktion

Stelle x₀

−0,50

Rechnung

f(x) = x³ − 3x² + 2

f′(x) = 3x² − 6x

f″(x) = 6x − 6

x₀ = −0,5, P(−0,5 | 1,125)

Tangentensteigung f′(−0,5) = 3,75

f″(−0,5) = −9 < 0: rechtsgekrümmt, die Tangente dreht sich im Uhrzeigersinn ↻

Aufträge

Wähle f(x) = x³ − 3x² + 2 und ziehe P langsam von links nach rechts. In welche Richtung dreht sich die Tangente? An welcher Stelle ändert sich die Drehrichtung?
Berechne für f(x) = x³ − 3x² + 2 den Wendepunkt und die Gleichung der Wendetangente. Prüfe mit „Wendepunkte zeigen“.
Schalte den Graphen von f′ zu. Welche besondere Stelle hat f′ bei der Wendestelle? Was bedeutet das für den Graphen von f?
Schalte „viele Tangenten“ ein. Liegen die Tangenten im roten Bereich über oder unter dem Graphen, und im grünen? Was passiert an der Wendestelle?
Wähle den Bestand f(x) = 41 + e^{−(x − 4)}. Zu welchem Zeitpunkt ist die Zunahme am größten, und wie groß ist sie dort?
f(x) = x · e^−x: Bestimme mit f″(x) = (x − 2) · e^−x den Wendepunkt. Warum genügt es, die Klammer zu untersuchen?
f(x) = x⁴: Es gilt f″(0) = 0. Hat der Graph bei 0 einen Wendepunkt? Schalte f″ zu und begründe.
f(x) = sin(x): Gib alle Wendestellen im Ausschnitt an und stelle die Wendetangente im Ursprung auf.