Mathe-LK · M1 · Analysis
Newton-Verfahren
nicht im Abi 2027 Diese Seite geht über den Stoff hinaus: Im Abitur 2027 wird das Newton-Verfahren nicht geprüft. Lässt sich f(x) = 0 nicht exakt lösen, ersetzt man den Graphen schrittweise durch seine Tangente und nimmt deren Nullstelle als neue Näherung: xn + 1 = xn − f(xn)f′(xn). Ein Startwert nahe der Nullstelle führt meist sehr schnell zum Ziel. Es kann aber auch schiefgehen.
So gehst du vor
- 1Wähle eine Funktion und ziehe den Startwert x0 auf der x-Achse.
- 2Drücke „Nächster Schritt“: Vom Punkt auf dem Graphen läuft die Tangente zur x-Achse, dort liegt die neue Näherung.
- 3Lies in der Tabelle ab, wie schnell der Abstand zur Nullstelle schrumpft.
- 4Suche Startwerte, bei denen das Verfahren scheitert. „Einzugsgebiete“ färbt jeden Startwert nach der Nullstelle, die er erreicht.
Graph von f mit Tangenten
Die Tangenten wechseln die Farbe, damit du die Schritte unterscheiden kannst. Die letzte Tangente ist hell verlängert.
Funktion f
Startwert x0
1,00Rechnung
f(x) = x² − 2
f′(x) = 2x
x1 = 1,0000 − −1,00002,0000 ≈ 1,500000
| n | xn | f(xn) | Abstand zur Nullstelle |
|---|---|---|---|
| 0 | 1,000000 | −1,000000 | 0,414 |
| 1 | 1,500000 | 0,250000 | 0,086 |
Bisher 1 Schritte, aktuelle Näherung x1 ≈ 1,500000.
Aufträge
- Skriptbeispiel: Berechne für f(x) = x² − 2 mit x0 = 1 die Näherungen x1 und x2 von Hand und vergleiche mit der Tabelle.
- Leite die Formel her: Stelle die Tangente im Punkt (xn | f(xn)) auf und bestimme ihre Nullstelle.
- Lies beim Skriptbeispiel in der letzten Spalte den Abstand zur Nullstelle ab. Wie entwickelt sich die Zahl der richtigen Stellen von Schritt zu Schritt?
- Löse cos(x) = x mit dem Verfahren. Warum lässt sich diese Gleichung nicht wie gewohnt umformen?
- Stelle bei x² − 2 den Startwert 0 ein. Was geschieht? Welche Nullstelle erreichst du mit 0,1 und mit −0,1?
- Wähle x³ − 2x + 2 mit x0 = 0. Rechne zwei Schritte von Hand. Welcher Startwert führt zur Nullstelle?
- Wähle x · e−x mit x0 = 2. Warum laufen die Näherungen davon? Für welche Startwerte klappt es?
- Wähle x³ − x und vergleiche die Startwerte 0,45 und 0,46. Schalte die Einzugsgebiete ein. Was fällt dir zwischen den Nullstellen auf?
Theorie: M1 Analysis, Abschnitt „Näherungsverfahren: Newton“ (nicht im Abitur 2027).