Mathe-LK · M3 · Stochastik
Normalverteilung
Bei stetigen Zufallsgrößen wie Körpergrößen oder Füllmengen hat ein einzelner Wert die Wahrscheinlichkeit null. Wahrscheinlichkeiten sind Flächen unter der Dichtefunktion φ. Hier ziehst du die Grenzen, und die Fläche läuft mit. Oder du gibst die Fläche vor und erhältst die Grenze, so wie mit der inversen Normalverteilung des WTR. Weiter unten legst du die Glockenkurve über die Binomialverteilung.
So gehst du vor
- 1Wähle ein Beispiel und die Art der Frage.
- 2Ziehe die roten Grenzen. Die rote Fläche ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
- 3Ziehe die blauen Punkte: μ verschiebt die Glocke, σ sitzt auf dem Wendepunkt und macht sie breiter und flacher.
- 4Rückwärts: Stelle mit dem Regler „Fläche“ die Wahrscheinlichkeit ein. Die Grenzen wandern dann von selbst.
- 5Ziehe eine Stichprobe und vergleiche den Anteil im Intervall mit der Fläche.
Fläche
0,6827
in Prozent
68,3 %
Stichprobe
– %
Beispiel
Körpergröße X mit μ = 170 cm und σ = 8 cm (Skript).
Frage
Fläche
0,683Erwartungswert μ
170,0 cmStandardabweichung σ
8,0 cmDie Rechnung läuft mit
P(162,0 ≤ X ≤ 178,0) = P(X ≤ 178,0) − P(X ≤ 162,0)
≈ 0,8413 − 0,1587 = 0,6827
Symmetrisch um μ: Das ist das kleinste Intervall mit dieser Wahrscheinlichkeit. Links bleibt 1 − 0,68272 ≈ 0,1587.
Eingabe im WTR: μ = 170,0, σ = 8,0
Standardisieren
z = k − μσ = 162,0 − 170,08,0 ≈ −1,000
z = k − μσ = 178,0 − 170,08,0 ≈ 1,000
Die Grenze liegt jeweils z Standardabweichungen neben μ: k = μ + z · σ
Maximum der Glocke: 1σ√(2π) ≈ 0,0499, Wendestellen bei μ ± σ, also 162,0 und 178,0
Binomialverteilung und Normalverteilung
B(100; 0,3) und die Glockenkurve mit μ = 30,00 und σ ≈ 4,58
Stichprobenumfang n
100Trefferwahrscheinlichkeit p
0,30Faustregel: σ ≈ 4,58 > 3, die Glocke passt.
exakt: P(21 ≤ X ≤ 39) ≈ 0,9625
Fläche unter der Glocke von 20,5 bis 39,5: 0,9618
größter Höhenunterschied zwischen Balken und Glocke: 0,0018
Der Balken zu k reicht von k − 0,5 bis k + 0,5, deshalb die Grenzen der Fläche. Im Abitur rechnet der WTR die Binomialverteilung exakt, die Glocke dient dort der Einschätzung.
Aufträge
- Körpergröße: Bestimme P(160 ≤ X ≤ 180) und P(X ≥ 186). Prüfe den zweiten Wert ohne Rechner mit einer σ-Regel.
- Schiebe beide Grenzen nah an 170 heran und notiere die Fläche für [169,5; 170,5]. Was passiert, wenn die Grenzen zusammenfallen? Vergleiche die Fläche mit Höhe mal Breite.
- Ziehe den σ-Punkt. Was geschieht mit dem Maximum, wenn du σ verdoppelst? Warum muss das so sein?
- Füllmenge: Welche Grenze überschreiten 95 % der Packungen? Stelle die Frage P(X ≥ k) und die Fläche 0,95 ein. Welche Fläche gibst du in den WTR ein?
- Füllmenge: Bestimme das kleinste Intervall, in dem 80 % der Füllmengen liegen. Verschiebe das Intervall danach aus der Mitte heraus. Warum sinkt die Fläche?
- Eine Maschine füllt mit σ = 4 g ab. Höchstens 2 % der Packungen sollen weniger als 500 g enthalten. Ziehe μ, bis P(X ≤ 500) = 0,02 gilt. Rechne dann wie im Abitur: Der WTR kann die Gleichung nicht nach μ auflösen.
- Ohne WTR: X ist normalverteilt mit μ = 100, und etwa 2,3 % der Werte liegen über 115. Bestimme σ.
- Ziehe 1000 Werte und vergleiche den Anteil im Intervall mit der Fläche. Verschiebe dann die Grenzen. Warum ändert sich der Anteil, ohne dass neu gezogen wird? Warum passen die Balken zur Glocke, obwohl ihre Höhe keine Wahrscheinlichkeit ist?
- Im unteren Feld: Vergleiche B(100; 0,3) und B(10; 0,1). Wann passt die Glocke? Wie groß muss n bei p = 0,1 mindestens sein, damit die Faustregel σ > 3 erfüllt ist?
Theorie: Skript M3 Stochastik, Kapitel „Normalverteilung“ (Stetige Zufallsgrößen, Die Normalverteilung, Rückwärts rechnen, Binomialverteilung und Normalverteilung).