Mathe-LK · M1 · Analysis
Rotationskörper
Dreht sich der Graph von f über [a; b] um die x-Achse, entsteht ein Körper, dessen Querschnitte Kreise mit dem Radius f(x) sind. Eine dünne Scheibe hat das Volumen π (f(x))² · Δx. Summiert man die Scheiben und macht sie immer dünner, wird daraus das Integral V = π ∫ba(f(x))² dx.
So gehst du vor
- 1Wähle einen Körper. Ziehe die grünen Grenzen a und b auf der x-Achse.
- 2Beim Kegel und bei der Kugel ziehst du den roten Punkt, bei der Vase alle roten Punkte.
- 3Drehe den Körper unten mit dem Finger. Bei „Drehung“ siehst du, wie der Graph die Oberfläche überstreicht.
- 4Erhöhe die Scheibenzahl n und vergleiche die Scheibensumme mit dem exakten Wert.
- 5Ziehe den blauen Punkt am Graphen: Er wählt eine einzelne Scheibe aus, deren Volumen rechts steht.
Graph von f und Scheiben im Längsschnitt
Gestrichelt ist der gespiegelte Graph, also der untere Rand des Längsschnitts. Jedes Rechteck ist der Schnitt durch einen Zylinder mit dem Radius f(xk) und der Dicke Δx.
Rotationskörper
Ansicht:
Ein Finger dreht die Ansicht, zwei Finger zoomen.
Körper
Scheibenzahl n
8Radius der Scheibe gemessen bei xk
Darstellung
Rechnung
f(x) = √x
(f(x))² = x
Δx = b − an = 0,5
n = 8: Summe = 28,274
V = π ∫40(f(x))² dx
= π · [x²2]40
= π · 8 ≈ 25,133
Abweichung der Summe: +3,142 (12,5 %)
| n | Summe | Abweichung |
|---|---|---|
| 4 | 31,416 | 6,283 |
| 8 | 28,274 | 3,142 |
| 16 | 26,704 | 1,571 |
| 32 | 25,918 | 0,785 |
| 64 | 25,525 | 0,393 |
Aufträge
- Skriptbeispiel: Berechne für f(x) = √x auf [0; 4] das Volumen von Hand. Lies danach ab, wie groß die Abweichung bei n = 8 und bei n = 16 ist (Radius am rechten Rand). Um welchen Faktor sinkt sie?
- Stelle bei √x den Radius auf „Mitte“. Warum stimmt die Summe schon bei n = 1 genau? Probiere dasselbe beim Kegel.
- Leite die Kegelformel her: Der Kegel mit r = 2 und h = 3 entsteht aus f(x) = rhx. Rechne allgemein und vergleiche mit der Anzeige.
- Ziehe beim Kegel r von 1 auf 2 und danach h von 2 auf 4. Wie ändert sich jeweils das Volumen? Warum wirkt der Radius stärker?
- Kugel mit r = 2: Berechne das Volumen aus dem Halbkreis. Ziehe a dann nach 0. Welcher Körper entsteht, und wie groß ist sein Volumen?
- Wähle das Fass f(x) = 2 − x²8 auf [−2; 2]. Quadriere f von Hand, bilde eine Stammfunktion und berechne V.
- Zusatz Wähle sin(x) und ziehe b bis etwa 6,3. Das Integral von sin(x) über [0; 2π] ist 0. Warum ist das Volumen trotzdem nicht 0?
- Forme mit „freie Vase“ eine Vase mit einem Volumen von etwa 30. Notiere den Verlauf der Punkte. Bei dieser Form rechnet die Seite das Integral numerisch aus, weil es nur Stück für Stück eine Stammfunktion gibt.
Theorie: M1 Analysis, Abschnitt „Rotationskörper“.