Physik-LK · Skript 5 · Quantenphysik
Schrödingergleichung
Diese Seite geht über den Unterrichtsstoff hinaus. Im Skript passen stehende Wellen in einen Topf. Für jedes andere Potential V(x) leistet das die stationäre Schrödingergleichung, −ħ²2 m · ψ″ + V · ψ = E · ψ. Sie sagt, wie stark ψ an jeder Stelle gekrümmt ist. Der Rechner startet links bei ψ = 0 und läuft nach rechts. Bei den meisten Energien läuft ψ weg. Nur bei bestimmten Energien bleibt es endlich: Das sind die erlaubten Energieniveaus.
So gehst du vor
- 1Wähle ein Potential. Tippe auf die Zeichnung oder ziehe die rote Linie: Das ist die Energie E.
- 2Beobachte das rechte Ende von ψ. Läuft es nach oben oder nach unten weg? Im Kasten: Liegt es an der Wand über oder unter der Linie?
- 3Suche zwei Energien, bei denen ψ einmal nach oben und einmal nach unten wegläuft. Dazwischen liegt ein Niveau. Taste dich mit den Feinschritten heran, bis die Kurve grün wird.
- 4Tippe „Energie merken“. Fülle so die Tabelle und vergleiche erst dann mit den exakten Werten.
Grau: Potential V. Rot gestrichelt: Energie E. Blau: ψ, um die Energielinie herum gezeichnet, in eigenem Maßstab. Grün: Die Energie passt. Ein Pfeil zeigt, wo ψ das Bild verlässt.
Energie E
0,300 eV
Nullstellen
0
ψ rechts
oben
Potential
Energie E
0,300 eVBreite L
1,00 nmψ ist an der rechten Wand nicht null: Diese Energie ist nicht erlaubt.
Gefundene Niveaus
| Niveau n | gefunden in eV | En : E1 | Nullstellen | |
|---|---|---|---|---|
| Noch nichts gemerkt. | ||||
En = n² · h²8 m L²
Beobachten und deuten
Umgestellt lautet die Gleichung ψ″ = 2 mħ² · (V − E) · ψ. Wo E über V liegt, krümmt sich ψ zur Achse hin und schwingt, und zwar umso schneller, je größer E − V ist. Das passt zu λ = hp. Wo V über E liegt, krümmt sich ψ von der Achse weg: Es fällt exponentiell ab oder wächst exponentiell an. Dass es abfällt, gelingt nur bei den erlaubten Energien. Daher kommt die Quantelung.
Aufträge
- Kasten mit L = 1 nm: Finde die drei niedrigsten Niveaus von Hand. Berechne E1 mit der Formel aus dem Skript und vergleiche. Wie hängen En : E1 und die Zahl der Nullstellen von n ab?
- Halbiere L. Was geschieht mit den Niveaus? Suche zuerst nur das unterste.
- Endlicher Topf mit V0 = 4 eV: Wie viele Niveaus gibt es? Vergleiche E1 mit dem Kasten gleicher Breite. Warum liegt es tiefer? Raste ein und betrachte ψ an der Topfwand.
- Harmonisches Potential: Bestimme die Abstände der Niveaus. Warum ist das unterste Niveau nicht bei null? Bei welchen Bewegungen in Molekülen begegnet dir dieses Potential?
- Doppelmulde: Warum treten die Niveaus paarweise auf? Vergleiche ψ der beiden untersten Niveaus. Mach die Wand dicker. Was geschieht mit dem Abstand im Paar?
- Coulomb: Finde die untersten drei Niveaus und vergleiche mit En = −13,6 eV · 1n². Hier liegen die Niveaus nach oben immer enger. Vergleiche mit dem Kasten und begründe mit der Form des Potentials.
Theorie: Quanten-Skript, Abschnitte „Ein quantenmechanisches Atommodell“ und „Ein Elektron im Potentialtopf“.