Mathe-LK · M1 · Analysis

Sekante wird Tangente

Die Sekante durch P(x₀ | f(x₀)) und Q(x₀ + h | f(x₀ + h)) hat die Steigung f(x₀ + h) − f(x₀)h (Differenzenquotient, mittlere Änderungsrate). Rückt Q immer näher an P heran (h → 0), dreht sich die Sekante in die Tangente, und aus der mittleren wird die momentane Änderungsrate f′(x₀). Man darf h = 0 nicht einsetzen (Division durch null), aber h beliebig klein machen.

So gehst du vor

1Wähle eine Funktion. Ziehe P, um x₀ zu wählen, und Q, um den Abstand h einzustellen.
2Verkleinere h mit „h halbieren“ oder dem Regler. Jedes Halbieren schreibt eine Zeile in die Tabelle.
3Schalte die Lupe ein: Sie zeigt den Ausschnitt um P und Q, auch wenn h winzig ist.
4Gegen welchen Wert streben die Differenzenquotienten? Erst danach „Grenzwert zeigen“.

Graph mit Sekante

Blau die Sekante durch P und Q. Grau das Steigungsdreieck mit der Breite h.

Tabelle der Differenzenquotienten

Noch leer: „h halbieren“ oder „In die Tabelle“ tippen.

Funktion

Stelle x₀

3,00

Abstand h (Regler logarithmisch)

h = 1

0,0000010,0011

Rechnung

f(x) = x²

P(3 | 9)
Q(4 | 16)

f(x₀ + h) − f(x₀)h = 16 − 91 = 7

Sekante: y = 7 · (x − 3) + 9

Aufträge

Wähle f(x) = x², x₀ = 3 und h = 1. Halbiere h achtmal. Gegen welchen Wert streben die Differenzenquotienten? Um wie viel liegen sie jeweils darüber?
Forme den Differenzenquotienten von f(x) = x² an einer beliebigen Stelle x₀ von Hand so um, dass sich h kürzt. Vergleiche dann mit „Grenzwert zeigen“.
Wechsle das Vorzeichen von h (Q links von P) und halbiere wieder. Kommt derselbe Grenzwert heraus?
f(x) = 1x bei x₀ = 2: Lies den Differenzenquotienten für h = 0,5 ab und rechne ihn mit −1x₀ · (x₀ + h) nach. Welche Tangentensteigung ergibt sich?
Bestimme mit der Tabelle die Steigung von 2^x und von e^x an der Stelle 0 auf drei Nachkommastellen. Was ist das Besondere an der Basis e?
f(x) = |x| bei x₀ = 0: Halbiere h einmal mit h > 0 und einmal mit h < 0. Was folgt daraus?
Schalte die Lupe ein und halbiere h immer weiter. Wie sieht der Graph von f(x) = x² im Ausschnitt aus?

Theorie: M1 Analysis, Abschnitt „Die Ableitung“.