Mathe-LK · M2 · Geometrie

Skalar- und Vektorprodukt

Das Skalarprodukt macht aus zwei Vektoren eine Zahl, die etwas über den Winkel verrät: Ist sie null, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander. Das Vektorprodukt macht aus zwei Vektoren einen dritten, der auf beiden senkrecht steht; seine Länge ist die Fläche des Parallelogramms, das die beiden aufspannen. Beides braucht man in fast jeder Abituraufgabe zur Geometrie.

So gehst du vor

1Wähle unten Skalarprodukt, Vektorprodukt oder Dreieck.
2Ziehe die Pfeilspitzen. Mit der Zieh-Art „senkrecht zu a“ bleibt b in der Ebene, die auf a senkrecht steht.
3Rechne zuerst selbst und vergleiche dann mit der Rechnung rechts.
4Die Ansichten „Winkel in wahrer Größe“ und „Parallelogramm von oben“ zeigen unverzerrt, was im Schrägbild schief aussieht.

Bereich

Ansicht:

Punkte ziehen:

Ein Finger auf freier Fläche dreht die Ansicht, zwei Finger zoomen. Punkte ziehst du in der gewählten Richtung; die gestrichelten Linien beim Ziehen zeigen den Weg vom Ursprung zum Punkt. Gestrichelt und blass: verdeckt (hinter der Ebene). Das Schrägbild zeichnet wie das Skript die x₁-Achse verkürzt; beim Drehen wird senkrecht projiziert.

Skalarprodukt

4,00

Winkel φ

63,6 °

Koordinaten

a(1 | 2 | 2)

x₁ = 1

x₂ = 2

x₃ = 2

Vorlage

Rechnung

Vektorena = 122, b = 2−12

Skalarprodukta ∘ b = 1 · 2 + 2 · (−1) + 2 · 2 = 4

Beträge|a| = √9 = 3, |b| = √9 = 3

Winkelcos(φ) = a ∘ b|a| · |b| = 43 · 3 ⇒ φ ≈ 63,6°

a ∘ b > 0: spitzer Winkel

SchattenLänge 43 (grün) · |a| = |a ∘ b|

Der grüne Schatten ist die senkrechte Projektion von b auf die Richtung von a. Seine Länge ist |b| · |cos(φ)|. Das ist die Winkelformel als Bild; im Skript steht sie mit dem Kosinussatz bewiesen.

Aufträge

a = 122, b = 2−12: Berechne Skalarprodukt und Winkel von Hand. Ziehe b dann so, dass der Winkel größer wird. Wann wechselt das Skalarprodukt das Vorzeichen?
Wähle „senkrecht zu a“ und ziehe b. Was bleibt gleich, was ändert sich? Gib drei verschiedene Vektoren an, die auf a = 122 senkrecht stehen.
Verdopple b (Koordinaten verdoppeln). Was passiert mit dem Skalarprodukt, was mit dem Winkel? Begründe mit der Formel.
Vektorprodukt, Beispiel im Skript: Rechne 120 × 013 mit der Merkhilfe und mache die Probe. Tausche dann a und b. Was ändert sich am Ergebnis und im Bild, was nicht?
Vorlage „kollinear“: Was liefert das Vektorprodukt? Warum passt das zur Parallelogrammfläche?
Dreieck, Vorlage „Fläche“: Bestimme die Fläche von A(1 | 0 | 0), B(0 | 2 | 0), C(0 | 0 | 3) von Hand.
Dreieck, Vorlage „Rechter Winkel?“: Ziehe C mit „rechter Winkel bei A“ in eine neue Lage. Wie viele solche Punkte gibt es, und wo liegen sie alle?

Theorie: Skript M2, Abschnitte „Skalarprodukt“ und „Vektorprodukt“.