Mathe-LK · M1 · Analysis

Tangente an einer Kurve

Die Ableitung f′(u) ist die Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt P(u | f(u)). Mit diesen beiden Zutaten entsteht die Tangentengleichung in Punkt-Steigungs-Form, t: y = f′(u) · (x − u) + f(u); die Normale steht im selben Punkt senkrecht darauf. Ziehst du P über den Graphen, zeichnet der Punkt (u | f′(u)) unten den Graphen der Ableitungsfunktion f′.

So gehst du vor

1Wähle eine Funktion. Ziehe den Punkt P mit dem Finger am Graphen entlang oder stelle u mit dem Regler genau ein.
2Lies rechts f(u), die Steigung f′(u) und die Gleichungen von Tangente und Normale ab; das Steigungsdreieck zeigt die Steigung am Graphen.
3Fahre mit P langsam über die ganze Breite: Unten bleibt die Spur der Punkte (u | f′(u)) stehen. Welcher Graph entsteht?
4Bei Funktion X ist der Term geheim: Bestimme ihn aus der Spur, erst dann auflösen.

Graph von f mit Tangente und Normale

Blau die Tangente t, grün die Normale n, grau gestrichelt das Steigungsdreieck (1 nach rechts, f′(u) nach oben). Das kleine Quadrat bei P zeigt den rechten Winkel.

Spur der Punkte (u | f′(u))

Funktion

Stelle u

1,00

Rechnung

f(x) = x²

f′(x) = 2x

u = 1, P(1 | 1)

Steigung: f′(1) = 2

t: y = 2 · (x − 1) + 1
y = 2x − 1

n: y = −1f′(u) · (x − u) + f(u)
y = −12 · (x − 1) + 1
y = −0,5x + 1,5

Der graue Punkt ist Q(0 | −1) aus dem Skriptbeispiel „Tangente durch einen Punkt außerhalb des Graphen“.

Aufträge

Wähle f(x) = x² und ziehe P nach u = 3. Stelle die Gleichungen von Tangente und Normale selbst auf und vergleiche mit der Anzeige.
Bleib bei f(x) = x² und schiebe P, bis die Tangente durch den grauen Punkt Q(0 | −1) geht. Welche Berührpunkte findest du? Rechne nach, indem du Q in die allgemeine Tangentengleichung mit u einsetzt.
Wähle f(x) = 13x³ − x und fahre mit P über die ganze Breite. Welcher Graph entsteht unten? Wo schneidet die Spur die x-Achse, und wie liegt die Tangente an diesen Stellen?
Zeichne die Spur für e^x und für sin(x). Welche bekannten Graphen entstehen? Lies jeweils die Steigung an der Stelle 0 ab.
Bei ln(x): Bestimme die Tangente in (1 | 0) und vergleiche die Spur mit dem Graphen von y = 1x.
Schalte bei f(x) = x² „gleiche Einheiten“ aus und ein. Warum sieht die Normale nicht immer senkrecht aus? Was gilt für das Produkt der Steigungen von t und n?
Funktion X: Zeichne die Spur über die ganze Breite. Bestimme aus ihr den Term von X′ (Nullstellen, Scheitel) und daraus den Term von X; den Wert X(0) liest du oben ab. Löse erst danach auf.

Theorie: M1 Analysis, Abschnitte „Die Ableitung“ und „Tangente und Normale“.