Mathe-LK · M3 · Stochastik
Zufallsexperimente
Den Ausgang eines einzelnen Zufallsexperiments kann niemand vorhersagen. Wiederholt man es oft, pendelt sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses bei einem festen Wert ein, der Wahrscheinlichkeit (empirisches Gesetz der großen Zahlen). Hier wählst du Ereignisse als Teilmengen der Ergebnismenge Ω aus und lässt den Zufall laufen.
So gehst du vor
- 1Wähle ein Experiment. Die Kacheln rechts sind die Ergebnismenge Ω.
- 2Tippe Kacheln an: Sie gehören dann zum Ereignis A (rot). Schalte auf B um und wähle ein zweites Ereignis (blau).
- 3Wirf einzeln oder lass den Zufall laufen. Die blaue Kurve zeigt die relative Häufigkeit, die gestrichelte Linie die Wahrscheinlichkeit.
- 4Tippe in der Tabelle auf eine Zeile, um dieses Ereignis in der Kurve zu verfolgen.
- 5„Neuer Durchgang“ lässt die alte Kurve grau stehen: So siehst du, wie verschieden der Anfang ausfällt und wie ähnlich das Ende.
Von selbst laufen lassen
n = 0 Versuche
Experiment
Ergebnismenge Ω mit 6 Ergebnissen
Ich wähle gerade:
Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit
| Ereignis | Ergebnisse | P | hn |
|---|---|---|---|
| ●A | {2; 4; 6} | 36 ≈ 0,500 | – |
| A | {1; 3; 5} | 36 ≈ 0,500 | – |
| B | {4; 5; 6} | 36 ≈ 0,500 | – |
| A ∩ B | {4; 6} | 26 ≈ 0,333 | – |
| A ∪ B | {2; 4; 5; 6} | 46 ≈ 0,667 | – |
Laplace: P(A) = |A||Ω| = 36
Gegenereignis: P(A) = 1 − P(A) = 36
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 36 + 36 − 26 = 46
Verteilung der Ergebnisse
Balken: relative Häufigkeiten in diesem Durchgang. Rote Striche: Wahrscheinlichkeiten.
Aufträge
- Würfel, A = {6}: Wirf 20-mal und notiere hn. Wiederhole das in fünf Durchgängen. Wirf dann je 1000-mal. Wie weit liegen die Durchgänge jeweils auseinander?
- Nach zehn Würfen ohne Sechs sagt jemand: „Jetzt ist die Sechs fällig.“ Nimm Stellung. Was gleicht die anfängliche Abweichung von 16 dann aus, wenn nicht der Würfel?
- Würfel, A „gerade Zahl“, B „größer als 3“: Berechne P(A ∪ B) mit dem Additionssatz und prüfe durch Abzählen. Verfolge das Ereignis in der Kurve.
- Wähle beim Würfel zwei Ereignisse A und B, die sich ausschließen. Was wird aus dem Additionssatz? Sind die beiden Ereignisse unabhängig?
- Zwei Würfel: Warum ist die Augensumme nicht gleichverteilt? Bestimme P(Augensumme 7) und P(Augensumme 2). Wähle dazu im 6-mal-6-Feld die passenden Paare und überprüfe an der Verteilung mit 1000 Würfen.
- Urne mit 5 roten, 3 blauen und 2 gelben Kugeln: Bestimme die Wahrscheinlichkeit für „nicht rot“ auf zwei Arten. Stelle dann die Urne so ein, dass P(rot) = 13 gilt.
- Würfel X: Schätze alle sechs Wahrscheinlichkeiten aus den relativen Häufigkeiten. Wie viele Würfe brauchst du, bis sich die zweite Nachkommastelle kaum noch ändert? Vergleiche erst danach mit den wahren Werten.
Theorie: Skript M3 Stochastik, Abschnitte „Zufallsexperimente und Ereignisse“ und „Rechenregeln“.