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IMP 10 · Mathematik

Folgen und Grenzwerte

Eine Folge ordnet jeder Nummer n eine Zahl a(n) zu, explizit durch einen Term oder rekursiv aus dem Vorgänger. Im Koordinatensystem sind die Glieder einzelne Punkte. Die Zahl g heißt Grenzwert, wenn es zu jedem ε > 0 ein n0 gibt, sodass für alle n > n0 gilt: |a(n) − g| < ε. Ab dem Index n0 liegen also alle Folgenglieder im ε-Streifen um g.

So gehst du vor

  1. 1Wähle eine Folge. Die Glieder erscheinen als Punkte, die im ε-Streifen farbig, die außerhalb grau.
  2. 2Ziehe den Punkt g auf den vermuteten Grenzwert und den Punkt g + ε an den Streifenrand. Das n0 rechnet die Seite mit (geprüft an den ersten 20 000 Gliedern).
  3. 3Mach ε immer kleiner (Regler, Lupe). Gibt es immer noch ein n0?
  4. 4Im Spinnwebdiagramm unten ziehst du den Startwert auf der x-Achse und siehst, wie die rekursive Folge läuft.

Folgenglieder und ε-Streifen

2468101214161820−0,20,20,40,60,811,2nyn0gg + ε

Punkte außerhalb des Bildausschnitts sind nicht gezeichnet. Für sehr kleine ε die Lupe benutzen; sie vergrößert in y-Richtung um den momentanen Wert von g.

Folge

Live
a(n) = 1n2
g = 0, ε = 0,1
Für alle n > n0 = 3 gilt |a(n) − g| < ε: ab a(4) liegen alle Glieder im Streifen.
Von den 20 gezeigten Gliedern liegen 3 außerhalb.
ε
0,1
n₀
3

ε

0,100

Grenzwert-Vermutung g

0,000

gezeigte Glieder

20

Lupe (y-Richtung)

Spinnwebdiagramm: rekursive Folgen an+1 = f(an)

Vom Startwert senkrecht hoch zum Graphen von f: Das liefert das nächste Glied. Waagerecht hinüber zur Geraden y = x legt man es wieder auf die x-Achse, und das Spiel beginnt von vorn. So entsteht eine Treppe oder ein Spinnennetz.

4812162024283248121620242832xyw2w3w4w5w6gestrichelt: y = xw₁
w1w2w3w4w5w6w7w8w9w10w11
712,2516,18819,14121,35523,01724,26225,19725,89826,42326,817

Vorschrift

wn+1 = 0,75 · wn + 7
Start: w1 = 7, also w2 = f(7) = 12,25

Schritte

10

Startwert w1

7,0

Dieselbe Folge über n aufgetragen

123456789101148121620242832ny

Waagerecht steht die Nummer n des Glieds, senkrecht sein Wert (Startwert w1).

Aufträge

  1. Wähle a(n) = 1n2 mit g = 0. Stelle ε = 0,01 ein und lies n0 ab. Bestätige den Wert mit der ε-Definition und vergleiche mit dem Nachweis der Seite.
  2. Wähle c(n) = 2n + 1n + 1 mit g = 2. Bestimme n0 für ε = 0,1, 0,01 und 0,001. Welcher Zusammenhang zwischen ε und n0 steckt dahinter?
  3. Wähle a(n) = 1 − (−1)n. Versuche, g und ε so einzustellen, dass es ein n0 gibt. Für welche ε gelingt das nie? Begründe, dass die Folge keinen Grenzwert hat.
  4. Vergleiche e(n) = 2 + 3 · 0,4n und a(n) = 4 + 1n bei ε = 0,01. Welche Folge nähert sich ihrem Grenzwert schneller? Woran liegt das?
  5. Wähle die geheime Folge X. Bestimme ihren Grenzwert auf drei Nachkommastellen, indem du ε immer kleiner machst und g nachführst (Lupe). Löse erst dann auf.
  6. Spinnwebdiagramm „Wirkstoff“: Lies w2 bis w6 ab und vergleiche mit deiner Tabelle aus dem Arbeitsblatt. Bei welcher Menge endet die Treppe? Begründe rechnerisch.
  7. Vorschrift „linear“: Verändere q. Für welche q konvergiert die Folge, für welche entsteht eine Treppe, für welche ein Spinnennetz? Was passiert bei q = −1 und bei q = 1?
  8. Vorschrift cn+1 = 1 − cn: Starte bei c0 = 0,5 und dann woanders. Gib eine explizite Darstellung an.
  9. Vorschrift „Sparbuch“ (5000 € Startkapital, 4 % Zinsen): Untersuche für die Entnahmen 100 €, 200 € und 300 € Monotonie und Beschränktheit. Bei welchem Betrag kippt das Verhalten?
  10. nicht im Arbeitsblatt Vorschrift „logistisch“: Stelle r = 2,8, 3,2, 3,5 und 3,9 ein. Beschreibe, was die Folge jeweils tut.

Theorie: Arbeitsblatt „Folgen“, Teil 1 (rekursiv und explizit), Teil 2 (Monotonie und Beschränktheit) und Teil 3 (Grenzwerte).