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IMP 10 · Mathematik

Kegelschnitte: Ellipse, Hyperbel, Parabel

Schneidet man einen (unendlich ausgedehnten) Doppelkegel mit einer Ebene, entstehen je nach Lage der Ebene Kreis, Ellipse, Parabel oder Hyperbel, in Sonderfällen auch ein Punkt, eine Gerade oder zwei Geraden. Dieselben Kurven lassen sich als Ortslinien beschreiben: Bei der Ellipse ist die Summe r1 + r2 der Abstände zu den Brennpunkten konstant, bei der Hyperbel die Differenz, bei der Parabel ist jeder Punkt vom Brennpunkt und von der Leitgeraden gleich weit entfernt.

So gehst du vor

  1. 1Drehe die Schnittebene im Aufriss rechts am Punkt β und verschiebe sie am Punkt auf der Achse. Den Kegel selbst drehst du in der Raumansicht mit dem Finger.
  2. 2Unten siehst du die Schnittkurve in wahrer Größe mit Gleichung, Brennpunkten und Exzentrizität.
  3. 3Im Teil „Ortslinien“ ziehst du einen Punkt P über die Kurve und liest die Abstände ab.
  4. 4Zum Schluss: Gärtnerkonstruktion. Ziehe den Stock einmal ganz herum, das Beet entsteht als Spur.

Doppelkegel und Schnittebene

Mit dem Finger ziehen, um den Kegel zu drehen
Schnittkurve
Ellipse
Neigung β
30 °
Mantellinien
60 °

β ist die Neigung der Ebene gegen die Waagerechte, „Mantellinien“ die Neigung der Mantellinien gegen die Waagerechte (90° − α). Bei gleicher Neigung rastet die Ebene ein.

Aufriss: Ebene ziehen

−4−3−2−11234−3−2−1123xzβ

Neigung β der Ebene

30,0 °

Höhe h des Drehpunkts auf der Achse

1,50

halber Öffnungswinkel α des Kegels

30 °

Die Schnittkurve in wahrer Größe

−3−2,5−2−1,5−1−0,50,511,522,53−2−1,5−1−0,50,511,52xyF₁F₂
Live
Ellipse
x21,266 + y20,844 = 1
a = 1,125, b = 0,919, e = 0,65
Exzentrizität ε = ea = 0,577

Gezeichnet in Mittelpunktslage (Brennpunkte auf der x-Achse), die Parabel mit dem Scheitel im Ursprung. Die Längen sind in Einheiten des Aufrisses gemessen; der Bildausschnitt wechselt in Stufen mit der Größe der Kurve.

Ortslinien: Abstände ablesen

−9−8−7−6−5−4−3−2−1123456789−6−5−4−3−2−1123456xyr₁r₂F₁F₂P

Kurve

Live
x225 + y29 = 1, e = √(25 − 9) = 4, Brennpunkte F1,2(±4 | 0)
P(3 | 2,4): r1 = 7,4, r2 = 2,6
r1 + r2 = 10 = 2a = 10

große Halbachse a

5,0

kleine Halbachse b

3,0

Gärtnerkonstruktion der Ellipse

Ein Gärtner schlägt zwei Pflöcke F1 und F2 ein, legt eine geschlossene Schnur um beide und fährt mit einem Stock P bei straff gespannter Schnur herum (1 Kästchen = 1 m).

−8−7−6−5−4−3−2−112345678−6−5−4−3−2−1123456xyF₁F₂P
Live
Pflockabstand 2e = 6 m, Schnur 16 m
r1 = 6,62 m, r2 = 3,38 m
r1 + r2 + 2e = 16 m = Schnurlänge

Schnurlänge (geschlossen)

16,0 m

halber Pflockabstand e

3,0 m

Die Pflöcke lassen sich auf der x-Achse ziehen; sie bleiben symmetrisch zum Ursprung.

Aufträge

  1. Erzeuge nacheinander Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel und die Sonderfälle Punkt, Gerade und zwei Geraden. Formuliere eine Regel: Wann entsteht welche Kurve? Vergleiche dazu β mit der Neigung der Mantellinien.
  2. Halte h fest und kippe die Ebene von β = 0 langsam bis zur Parabel. Was passiert mit a, mit e und mit der Exzentrizität ε? Was passiert jenseits der Parabel?
  3. Ortslinie Ellipse x225 + y29 = 1: Bestimme die Brennpunkte und ε. Ziehe P auf (3 | 2,4) und prüfe r1 + r2 = 2a. Prüfe an zwei weiteren Punkten.
  4. Hyperbel x29 − y216 = 1: Bestimme Brennpunkte, Asymptoten und Exzentrizität. Ziehe P auf beide Äste: Was bleibt gleich?
  5. Parabel: Stelle die Parabel y = 2x2 ein. Wo liegen Brennpunkt und Leitgerade? Prüfe an einem Punkt, dass |PF| =d gilt.
  6. „Abstandsverhältnis ε“: Markiere je mindestens sechs Punkte mit ε = 1, 12 und 2. Welche Kegelschnitte entstehen? Zeige rechnerisch, dass die Punkte mit ε = 1 auf y = 112 x2 + 3 liegen.
  7. Gärtner: Pflöcke im Abstand 6 m, Schnur 16 m. Fahre einmal herum. Begründe, dass eine Ellipse entsteht, und bestimme a, b und die Gleichung. Welche Schnur braucht man für ein Kreisbeet mit Radius 5 m, welche Pflöcke und welche Schnur für ein Beet von 12 m Länge und 8 m Breite?

Theorie: Arbeitsblatt „Kegelschnitte: Ellipse, Hyperbel, Parabel“, Teil 1 (Grundlagen) und Teil 2 (Brennpunkte).