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IMP 10 · Mathematik

Komplexe Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene

Eine komplexe Zahl z = a + bi mit a = Re(z), b = Im(z) und i² = −1 ist ein Punkt bzw. ein Zeiger in der Gaußschen Zahlenebene. In der Euler-Notation z = r · eiφ = r(cos(φ) + i sin(φ)) beschreibt man denselben Zeiger durch seinen Betrag r = |z| und seinen Winkel φ im Bogenmaß. Hier rechnest du mit zwei Zeigern, die du mit dem Finger ziehst.

So gehst du vor

  1. 1Wähle eine Rechenart. Ziehe die Zeiger z1 (blau) und z2 (lila); das Ergebnis (orange) läuft mit.
  2. 2„Raster“ legt fest, worauf die Zeiger einrasten: halbe Kästchen, Zehntel oder Polarraster (Winkel in Schritten von 15°, Betrag in Vierteln).
  3. 3Rechts steht die Rechnung in Standard- und in Euler-Notation, so wie du sie aufschreiben würdest.
  4. 4Unten löst du zⁿ = w: Ziehe w und wähle n.

Gaußsche Zahlenebene

−4−3−2−11234−4−3−2−11234ReImφ₁φ₂φ₁ + φ₂z₁z₂z₁ · z₂

Rechenart

Rechnung (live)
z1 = 2 + i = √5 ≈ 2,236 · ei · 0,464 (φ = 26,6°)
z2 = 1 + i = √2 ≈ 1,414 · ei · π4 (φ = 45°)
Standardnotation: (2 + i)(1 + i) = (2 · 1 − 1 · 1) + (2 · 1 + 1 · 1)i = 1 + 3i
Euler-Notation: Beträge mal, Winkel plus: 2,236 · 1,414 · ei(0,464 + π4) = √10 ≈ 3,162 · ei · 1,249

Multiplizieren mit z2 heißt: um φ₂ = 45° drehen und mit |z2| = 1,414 strecken (Drehstreckung).

Raster

Ausschnitt

Die Lösungen von zn = w, Einheitswurzeln

−3−2−1123−3−2−1123ReImwz₀z₁z₂

n

3

Betrag |w|

1,00
w = 1 = 1 · ei · 0
zk = 3√1 · ei · 0 + 2πk3 mit k = 0, 1, …, 2
z01 · ei · 01
z11 · ei · 2π3−0,5 + 0,866i
z21 · ei · 4π3−0,5 − 0,866i

w rastet im Polarraster ein (Winkel in Schritten von 15°, Betrag in Vierteln). Für w = 1 heißen die Lösungen Einheitswurzeln. Ist |w| größer als 2,8, sitzt w am Bildrand; dort ziehst du nur den Winkel, den Betrag stellst du am Regler ein.

Aufträge

  1. Produkt mit z2 = i: Setze z1 nacheinander auf die Ecken A = 1, B = 3 + i und C = 1 + 2i des Dreiecks aus dem Vertiefungsblatt und notiere die Bilder. Beschreibe die Abbildung z ↦ i · z.
  2. Wiederhole mit z2 = 1 + i. Was ändert sich? Begründe mit der Euler-Notation von 1 + i.
  3. Stelle das Polarraster ein. Mit welcher Zahl z2 muss man multiplizieren, um um 60° gegen den Uhrzeigersinn zu drehen? Mit welcher für eine Drehung um 30° und gleichzeitige Streckung mit dem Faktor 2? Gib beide in Standardnotation an.
  4. Berechne erst von Hand, dann prüfe hier: (2 + 3i) + (2 − 2i), (−2 + i) · (2 − 2i) und 3 : (1 + i).
  5. Halte z1 fest und bewege z2 so, dass das Produkt z1 · z2 reell ist. Wo liegen alle solchen z2? Welche besondere Zahl ist darunter?
  6. „Potenzen von z₁“ mit z1 = 1 + i: Für welche n ist (1 + i)n reell, für welche rein imaginär? Wie sieht der Weg der Potenzen aus, wenn |z1| > 1, = 1 oder < 1 ist?
  7. Löse z³ = 1 und z⁴ = −16. Welche Figur bilden die Lösungen? Begründe am Bild, warum die Summe aller Lösungen von zn = 1 für n ≥ 2 null ist.
  8. Ein regelmäßiges Sechseck hat den Mittelpunkt 0 und eine Ecke bei 2. Finde eine Gleichung zn = w, deren Lösungen genau die Ecken sind, und prüfe hier.

Theorie: Arbeitsblätter „Komplexe Zahlen“ und „Komplexe Zahlen – Vertiefung“.