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IMP 10 · Mathematik

Matrizen als Abbildungen

Eine 2 × 2-Matrix beschreibt eine Abbildung der Ebene: Sie schickt den Punkt P(x | y) auf P′(ax + by | cx + dy). Ursprung und Geraden bleiben dabei erhalten. Die Determinante sagt, um welchen Faktor sich Flächen ändern.

So gehst du vor

  1. 1Ziehe die Spitzen der beiden Vektoren: Das sind die Bilder der Einheitsvektoren.
  2. 2Lies die Matrix ab und vergleiche die Determinante mit der Fläche des Parallelogramms.
  3. 3Ziehe den Punkt P und rechne sein Bild nach.
  4. 4Stelle unten zwei Matrizen ein und tausche die Reihenfolge.
−4−3−2−11234−4−3−2−11234xyPP′e₁′e₂′
A =1001

Die Spalten sind die Bilder der Einheitsvektoren: e1 ↦ 10 und e2 ↦ 01.

Determinante
1
Fläche des Bildes
1
det A = a · d − b · c = 1 · 1 − 0 · 0 = 1
Positiv: Der Umlaufsinn bleibt, das F ist nicht gespiegelt.
Bild des Punktes P
1001·1,50,5 =1 · 1,5 + 0 · 0,50 · 1,5 + 1 · 0,5= 1,50,5

Abbildung

Umkehrabbildung: A−1 = 1det A · d−b−ca = 1001

Hintereinanderausführung

A =0−110det = 1
−2−112−2−112xye₁′e₂′
B =100−1det = −1
−2−112−2−112xye₁′e₂′
−4−3−2−11234−4−3−2−11234xy

Reihenfolge

Grau gestrichelt: Ausgangsquadrat. Farbig gestrichelt: nach dem ersten Schritt. Dunkel: Ergebnis. Die zuerst ausgeführte Abbildung steht im Produkt rechts, wie bei der Verkettung von Funktionen.

A · B = 0−110 · 100−1 = 0110
1. Zeile mal 1. Spalte: 0 · 1 + (−1) · 0 = 0
1. Zeile mal 2. Spalte: 0 · 0 + (−1) · (−1) = 1
2. Zeile mal 1. Spalte: 1 · 1 + 0 · 0 = 1
2. Zeile mal 2. Spalte: 1 · 0 + 0 · (−1) = 0
det(A · B) = −1 = 1 · (−1). Die Flächenfaktoren multiplizieren sich. Die andere Reihenfolge ergibt 0−1−10, die Reihenfolge ist also nicht egal.

Aufträge

  1. Begründe mit der Rechnung für den Punkt P(1 | 0) und P(0 | 1), warum in den Spalten der Matrix die Bilder der Einheitsvektoren stehen.
  2. Bestimme ohne Rechnung die Matrix der Drehung um 90° und der Spiegelung an der Geraden y = x. Ziehe die Vektoren passend und vergleiche. Wie lautet die Matrix der Drehung um den Winkel α?
  3. Wähle die Scherung und verändere den Scherfaktor. Was geschieht mit der Fläche? Begründe mit der Determinante und mit der Formel „Grundseite mal Höhe“.
  4. Stelle die beiden Vektoren so, dass die Determinante 0 wird. Beschreibe die Lage der Vektoren. Warum gibt es dann keine Umkehrabbildung?
  5. Bestimme für A = Drehung um 90° und B = Spiegelung an der x-Achse beide Produkte von Hand. Welche Abbildungen sind das? Prüfe am F.
  6. Suche zwei Matrizen, bei denen die Reihenfolge egal ist, und zwei, bei denen sie nicht egal ist. Erkläre mit Flächen, warum immer det(A · B) = det A · det B gilt.