IMP 10 · Mathematik
Restklassen und Uhrarithmetik
Zu jeder ganzen Zahl a und jeder natürlichen Zahl m ≥ 2 gibt es genau eine Darstellung a = q · m + r mit 0 ≤ r < m; r = a mod m heißt Rest. Zahlen mit demselben Rest bilden eine Restklasse, und mit den Vertretern 0, 1, …, m − 1 rechnet man in ℤm wie auf einer Uhr: Nach m − 1 kommt wieder 0.
So gehst du vor
- 1Wähle den Modul m und die Rechenart. Tippe auf dem Kreis eine Zahl an, um a zu setzen; b gibst du ein (auch große und negative Zahlen).
- 2„Vielfache von a“ zeichnet 0, a, 2a, 3a, … auf dem Kreis: Wird jede Zahl getroffen?
- 3In der Verknüpfungstafel tippst du ein Feld an und siehst die Rechnung. Färbung „Inverse und Nullteiler“: orange heißt Ergebnis 1, rot heißt Produkt 0 aus zwei Zahlen ≠ 0.
- 4Unten berechnest du Inverse mit dem euklidischen Algorithmus.
Zahlenkreis modulo 12
Blau umrandet: a. Orange: das Ergebnis. „Restklassen auf Strahlen“ schreibt außen r + m, r + 2m, … und innen r − m dazu: alles Zahlen derselben Restklasse.
Rechenart
Modul m
12Rechnung (live)
9 + 5 = 14 = 1 · 12 + 2
also (9 + 5) mod 12 = 2
Verknüpfungstafeln in ℤ6
| · | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 0 | 2 | 4 |
| 3 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
| 4 | 0 | 4 | 2 | 0 | 4 | 2 |
| 5 | 0 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Verknüpfung
Modul m
6Färbung
Gewähltes Feld
2 · 3 = 6 = 1 · 6 + 0, also 2 · 3 ≡ 0 (mod 6)Inverse mit dem euklidischen Algorithmus
Fortlaufend mit Rest teilen
26 = 3 · 7 + 5
7 = 1 · 5 + 2
5 = 2 · 2 + 1
2 = 2 · 1 + 0
Letzter Rest ≠ 0: ggT(7, 26) = 1
ggT
1
Inverses
?
Beim Rückwärtsrechnen setzt man Zeile für Zeile den Rest aus der Division darüber ein, bis nur noch m und a vorkommen.
Aufträge
- Uhr mit m = 24: Es ist 14 Uhr. Wie spät ist es in 1000 Stunden? Woche mit m = 7: Der 1. November 2026 ist ein Sonntag. Welcher Wochentag ist in 1000 Tagen, welcher an Heiligabend 2026?
- Berechne 2026 mod 7, −17 mod 5 und −1 mod 12 erst von Hand, dann hier (Rechenart a + b mit a = 0). Warum ist der Rest nie negativ?
- „Vielfache von a“ mit m = 12: Für welche a wird jede Zahl getroffen? Für welche entsteht ein kleineres Vieleck, und wie viele Ecken hat es?
- Multiplikationstafeln von ℤ5 und ℤ6 (zuerst verdeckt selbst ausfüllen, dann aufdecken): In welcher Tafel kommt in jeder Zeile außer der ersten jede Zahl genau einmal vor? Finde in ℤ6 zwei Zahlen a, b ≠ 0 mit a · b = 0.
- Warum ist in ℤ7 jede Zahl ≠ 0 invertierbar, in ℤ6 aber nicht? Stelle eine Vermutung auf, welche a in ℤm ein Inverses haben, und prüfe sie für m = 8, 9, 10 und 12.
- Löse in ℤ7 die Gleichungen 3x ≡ 1 und 3x ≡ 5 (mod 7). Lies dazu das Inverse von 3 aus der Tafel ab.
- Euklidischer Algorithmus: Prüfe das Beispiel aus dem Arbeitsblatt (Inverses von 7 modulo 26). Bestimme dann von Hand das Inverse von 17 modulo 43 und vergleiche. Warum bricht das Verfahren für 6 modulo 26 ohne Inverses ab?
Theorie: Arbeitsblatt „Restklassen und Kongruenzen“, Teil 1 (Grundlagen) und Teil 2 (Rechnen in ℤm).