IMP 10 · Astronomie und logarithmische Darstellung
Fluchtgeschwindigkeit und Schwarzschild-Radius
Um von der Oberfläche eines Himmelskörpers (Masse M, Radius r) ganz zu entkommen, braucht ein Körper die Fluchtgeschwindigkeit vF = √(2 G Mr). Presst man denselben Körper zusammen, wächst vF. John Michell fragte 1783: Was, wenn sie die Lichtgeschwindigkeit c erreicht? Aus vF = c folgt der Schwarzschild-Radius rs = 2 G Mc². Die Werte reichen über viele Größenordnungen, deshalb sind alle Skalen logarithmisch.
So gehst du vor
- 1Wähle einen Himmelskörper. Bestimme seine Fluchtgeschwindigkeit zuerst mit der Sonde: Startgeschwindigkeit einstellen, starten, einschachteln.
- 2Drücke den Körper dann mit dem Regler zusammen (Masse bleibt gleich) und beobachte die Fluchtgeschwindigkeit.
- 3Übernimm Radius und Fluchtgeschwindigkeit für mehrere Radien in die Tabelle und werte doppelt logarithmisch aus.
- 4Suche den Radius, bei dem die Fluchtgeschwindigkeit die Lichtgeschwindigkeit erreicht, und vergleiche mit dem Schwarzschild-Radius.
Radius r
6.371 km
Fluchtgeschwindigkeit
11,2 km · s⁻¹
Himmelskörper
Radius r (zusammendrücken)
6.371 kmSonde starten
Startgeschwindigkeit v0
10 km · s⁻¹Ohne Luftwiderstand und ohne Antrieb nach dem Start. Die Startgeschwindigkeit streut um etwa 0,5 %.
Messreihe: Fluchtgeschwindigkeit über dem Radius
Einen Körper in mindestens fünf Radien über mehrere Zehnerpotenzen. Die Auswertung verlängert die Gerade bis zur Lichtgeschwindigkeit.
| Nr. | Radius r in km | vF in km · s⁻¹ |
|---|
Gestrichelte Waagerechte: Lichtgeschwindigkeit. Nahe an c gilt Newtons Rechnung eigentlich nicht mehr; dass sie trotzdem den richtigen Radius liefert, ist ein Glücksfall. In der Relativitätstheorie ist der Raum so stark gekrümmt, dass alle Wege nach innen führen.
Aufträge
- Bestimme die Fluchtgeschwindigkeit der Erde mit Sondenstarts auf drei geltende Ziffern. Prüfe dann mit „Rechnung zeigen“.
- Halbiere den Radius der Erde, dann teile ihn durch 100. Um welchen Faktor wächst vF jeweils? Begründe mit der Formel.
- Nimm die Messreihe auf und werte sie aus. Warum ergibt sich im doppelt-logarithmischen Diagramm eine Gerade, und warum hat sie die Steigung −0,5?
- Auf welchen Radius müsste man die Erde, auf welchen die Sonne zusammendrücken, damit sie zu schwarzen Löchern würden? Vergleiche mit 2GM : c².
- Wie viel fehlt dem Weißen Zwerg Sirius B, wie viel dem Neutronenstern bis zum schwarzen Loch? Gib das Verhältnis von Radius und Schwarzschild-Radius an.
- Erde und Sonne: Ihre Massen unterscheiden sich um den Faktor 333 000. Wie verhalten sich ihre Schwarzschild-Radien?
Theorie: Astronomie-Skript, Kapitel „Gravitation und Fluchtgeschwindigkeit“ und Abschnitt „Schwarze Löcher“.