Physik-LK · Skript 5 · Quantenphysik

Wasserstoffatom: Orbitale

Diese Seite geht über den Unterrichtsstoff hinaus. Im Skript steht qualitativ: Das Elektron im Atom hat keine Bahn, sondern ist eine stehende Welle ψ um den Kern, und |ψ|² gibt die Antreffwahrscheinlichkeit an. Hier siehst du die exakten Lösungen. Zur Quantenzahl n kommen l (Drehimpuls, Buchstaben s, p, d, f) und m. Wie die Niveaus zu den Spektrallinien führen, zeigt der Versuch Linienspektren und Energieniveaus.

So gehst du vor

1Wähle die Quantenzahlen oder tippe ein Niveau im Termschema an.
2Drehe die Punktwolke mit dem Finger. Jeder Punkt ist ein möglicher Messort des Elektrons. Der rote Punkt ist der Kern.
3Ziehe in der radialen Verteilung den Punkt r: Die Wahrscheinlichkeit, das Elektron innerhalb dieses Abstands zu finden, läuft mit.
4Vergleiche im Schnittbild, wo ψ null ist. Das sind die Knotenflächen.

6000 Punkte, gezogen aus |ψ|². Blau: ψ > 0, orange: ψ < 0. Der Kern ist stark vergrößert.

Hauptquantenzahl n

Drehimpuls l

Magnetquantenzahl m

Termschema nach l geordnet, maßstäblich. Rot: Übergänge nach unten, die Licht aussenden können. Es gilt die Auswahlregel Δl = ±1, weil das Photon einen Drehimpuls mitnimmt.

Radiale Verteilung und Rechnung

r in Vielfachen des Bohr-Radius a₀ = 0,0529 nm. P(r) = r² · R²: Wahrscheinlichkeit je Längeneinheit, das Elektron auf einer Kugelschale im Abstand r zu finden. Die blaue Fläche ist die Wahrscheinlichkeit bis zum roten Punkt.

Zustand 2p_z: n = 2, l = 1, m = 0

E₂ = −13,6 eV · 12² = −3,40 eV. Sie hängt nur von n ab.

Entartung: 2² = 4 Zustände haben diese Energie (ohne Spin).

Knotenflächen: 0 Kugeln und 1 weitere durch den Kern, zusammen n − 1 = 1.

Mittlerer Abstand: 5,0 a₀ = 0,265 nm

Wahrscheinlichster Abstand: 4,0 a₀

Innerhalb von r = 4,00 a₀ = 0,212 nm: 37,2 %

Erlaubte Übergänge: 2p → 1s (122 nm)

Schnitt durch das Atom

Schnittebene

Je dunkler, desto größer |ψ|; so bleiben auch die äußeren Bereiche sichtbar. Die Farbe zeigt das Vorzeichen von ψ. Weiße Linien sind Knoten. Rot: Kern.

In einem solchen Zustand ändert sich die Verteilung nicht mit der Zeit, das Atom strahlt nicht. Ein Photon entsteht erst beim Übergang zwischen zwei Zuständen. Das ist die Antwort der Quantenphysik auf die Frage, warum das Elektron nicht in den Kern stürzt.

Aufträge

Wähle 1s. Im Schnitt ist |ψ|² am Kern am größten, die radiale Verteilung P(r) hat ihr Maximum aber bei r = a₀. Erkläre den Unterschied. Denke an das Volumen einer Kugelschale.
Wie groß ist bei 1s die Wahrscheinlichkeit, das Elektron innerhalb von a₀ zu finden, wie groß innerhalb von 2 a₀? Bei welchem Abstand sind es 90 %? Was bedeutet das für die „Größe“ eines Atoms?
Vergleiche die drei Zustände aus dem Skript mit gleichem Maßstab: 1s, 2s und 2p_z. Beschreibe die Unterschiede. 2s und 2p haben dieselbe Energie. Was stimmt bei den Knotenflächen überein, was nicht?
Zähle für n = 3 alle Zustände und prüfe n². Finde zu 3s, 3p und 3d die Knotenflächen im Schnittbild.
Blende den Bahnradius nach Bohr ein. Für welche Zustände liegt er genau beim wahrscheinlichsten Abstand? Was bleibt vom Bohrschen Modell, was nicht?
Die rote Linie H_α gehört zu n = 3 → 2. Welche Übergänge zwischen den Zuständen steuern dazu bei? Warum kann 2s nicht einfach nach 1s übergehen, 2p aber schon?
Schalte „reelle Orbitale“ aus und vergleiche 2p mit m = 1 und m = −1. Schalte wieder ein. Wie entstehen 2p_x und 2p_y aus den beiden?

Theorie: Quanten-Skript, Abschnitte „Ein quantenmechanisches Atommodell“ und „Energieniveaus: Emission und Absorption“.