Physik-LK · Skript 5 · Quantenphysik

Bohrsches Atommodell

Niels Bohr erklärte die Wasserstoffniveaus 1913 mit erlaubten Kreisbahnen. In der Sprache von de Broglie (1924) sieht das so aus: Auf den Umfang muss eine ganze Zahl von Elektronenwellenlängen passen, 2π · r = n · λ. Das liefert für Wasserstoff die richtigen Energien E_n = −13,6 eV · 1n², ist in seinen Grundannahmen aber falsch: Bahnen gibt es nicht. Das Modell ist ein Ausblick und kein Prüfungsstoff, die Energieniveaus aber schon.

So gehst du vor

1Ziehe den Ziehpunkt nach außen oder innen. Die Bahn hat dann einen beliebigen Radius.
2Die blaue Welle ist die erste Runde um den Kern, die rote die zweite. Passen sie nicht aufeinander, löscht sich die Welle nach vielen Runden aus.
3Suche die Radien, auf denen sich die Welle schließt. Rechts wandert der Punkt im Energieschema mit.
4Tippe auf einer erlaubten Bahn auf ein anderes n: Das Elektron springt, die Rechnung zeigt das Photon.
5Lies zum Schluss, wo das Modell an Grenzen stößt, und schalte die Antreffwahrscheinlichkeit ein.

Umfang : Wellenlänge

1,40

Energie

−6,94 eV

Radien nicht maßstäblich: Die Bahnen sind im Abstand von n gezeichnet, in Wirklichkeit wächst r mit n². Das Energieschema ist maßstäblich. Die Amplitude der Welle ist frei gewählt.

Bahnradius r

1,96 a₀

Die Welle schließt sich nicht: Der Umfang ist kein ganzzahliges Vielfaches von λ.

Sprung nach n =

Nur von einer erlaubten Bahn aus.

Rechnung

r = 1,96 a₀ = 0,104 nm

v = 1,56 · 10⁶ ms

λ = hm_e · v = 0,465 nm

U = 2π · r = 0,652 nm

Wo das Modell an Grenzen stößt

Was nicht stimmt

Es gibt keine Bahn. Ist das Elektron auf Δx ≈ 10⁻¹⁰ m festgelegt, ist seine Geschwindigkeit um rund 7 · 10⁶ ms unbestimmt. Das ist mehr als die 2 · 10⁶ ms, die das Modell ihm zuschreibt.
Die Stabilität ist nur gefordert. Ein kreisendes Elektron müsste strahlen und in den Kern stürzen. Bohr verbot das einfach, erklärt ist es damit nicht. Die Quantenphysik erklärt es: Ein stationärer Zustand ändert sich nicht mit der Zeit und strahlt deshalb nicht.
Das Atom ist nicht flach. Der Grundzustand ist kugelsymmetrisch und hat den Drehimpuls null, im Modell umkreist das Elektron den Kern.
Schon für Helium versagt es. Mit zwei Elektronen liefert das Modell keine richtigen Energien. Auch die Stärke der Spektrallinien erklärt es nicht.
Die Welle auf dem Kreis ist nur ein Bild. Sie stammt nicht von Bohr, und die wirkliche stehende Welle ist dreidimensional. Sie gibt nur die Wahrscheinlichkeit an, das Elektron anzutreffen.

Was bleibt

Atome haben diskrete Energieniveaus. Für Wasserstoff stimmen die Werte.
Licht entsteht beim Übergang zwischen zwei Niveaus: h · f = E_m − E_n.
Die Größenordnung stimmt: Ein Wasserstoffatom ist rund 0,1 nm groß.
Der Grundgedanke hält: Nur bestimmte stehende Wellen sind möglich, daher die diskreten Niveaus.

Wie es richtig aussieht, zeigt die Seite Wasserstoffatom: Orbitale. Die Übergänge und Spektrallinien stehen auf der Seite Linienspektren und Energieniveaus.

Aufträge

Suche die vier kleinsten Radien, auf denen sich die Welle schließt, und notiere r in a₀. Welches Gesetz erkennst du? Schalte zur Kontrolle auf maßstäbliche Radien.
Stelle r = 2 a₀ ein. Wie viele Wellenlängen passen auf den Umfang? Warum wäre das kein möglicher Zustand?
Vergleiche die Energien auf den erlaubten Bahnen mit E_n = −13,6 eV · 1n². Warum werden die Abstände nach oben hin kleiner, im Potentialtopf aber größer?
Skriptbeispiel: Springe von n = 3 nach n = 2. Berechne h · f und λ. Welche Linie ist das?
Zeige mit der Rechnung auf der Seite: Für n = 1 ist v rund 2 · 10⁶ ms. Vergleiche mit der Unbestimmtheit von v aus Δx · Δp_x ≈ h für Δx ≈ 10⁻¹⁰ m. Was folgt daraus für die Bahn?
Schalte die Antreffwahrscheinlichkeit ein und vergleiche für n = 1, 2 und 3 mit der Bahn. Öffne dann die Seite zum Wasserstoffatom: Was bleibt vom Bohrschen Modell, was nicht?

Theorie: Skript Quantenphysik, Abschnitte „Ein quantenmechanisches Atommodell“, „Energieniveaus: Emission und Absorption“ und „Abschied von der Bahn und vom Determinismus“. Das Bohrsche Modell selbst ist dort nur Ausblick.